Простра́нство Лобаче́вского, пространство, геометрия которого определяется аксиомами геометрии Лобачевского. В более широком смысле пространство Лобачевского понимается как неевклидово гиперболическое пространство, определение которого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства. Пусть $^nR_{n+1}$ – псевдоевклидово $(n+1)$-пространство индекса $n$; на $n$-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек $n$-сферы пространства $^nR_{n+1}$, называется $n$-пространством Лобачевского и обозначается $^1S_n$. Такое определение пространства Лобачевского позволяет включить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств. Пространство $^1S_n$ в проективном пространстве $P_n$ изображается внутренней областью овальной $(n-1)$-квадрики, которая является пересечением $n$-сферы мнимого радиуса с бесконечно удалённой плоскостью пространства $^nR_{n+1}$, дополняющей это пространство до проективного пространства $P_{n+1}$. Точки овальной $(n-1)$-квадрики являются бесконечно удалёнными точками пространства $^1S_n$, т. е. квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство $^1S_n$ до полного пространства $P_n$, называется идеальной областью пространства $^1S_n$. Указанная интерпретация называется проективной интерпретацией Кэли – Клейна. Она может быть получена также путём проектирования $n$-сферы мнимого радиуса пространства $^nR_{n+1}$ из её центра на касательную $n$-плоскость, которая является евклидовым $n$-пространством; при этом пространство $^1S_n$ изображается внутренней областью $n$-шара в этой $n$-плоскости, граница $n$-шара является абсолютом пространства $^1S_n$ (иногда последнюю интерпретацию пространства $^1S_n$ в евклидовом пространстве $R_n$ называют интерпретацией Бельтрами – Клейна).

Проективная интерпретация $3$-пространства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометрические свойства $2$-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского.

Присоединением к пространству $^1S_n$ точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное пространство Лобачевского. $m$-плоскость, $m<n$, пересекающаяся с абсолютом, называется собственной $m$-плоскостью; не пересекающая абсолют – идеальной $m$-плоскостью; $m$-плоскость, касающаяся абсолюта, – изотропной $m$-плоскостью. Таким же образом классифицируются прямые пространства $^1S_n$. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки – полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные $(n-m-1)$-плоскости собственных $m$-плоскостей пространства Лобачевского $^1S_n$ суть идеальные $(n-m-1)$-плоскости, и полярные $(n-m-1)$-плоскости идеальных $m$-плоскостей – собственные $(n-m-1)$-плоскости.

В пространстве $^1S_n$ в качестве координат точки $X$ можно рассматривать координаты вектора $x$ этой точки в пространстве $^nR_{n+1}$, принадлежащей $n$-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора $x$ (координаты Вейерштрасса) при этом должны удовлетворять условию

$$-(x^0)^2+\sum_i(x^i)^2=-1, \quad i>0.$$Используются также координаты Бельтрами

$$X^i=\frac{x^i}{x_0}, \quad i>0,$$причём $\sum_i(X^i)^2<1$. В пространстве $^1S_n$ вводятся декартовы координаты $u^1,u^2,\ldots,u^n$, связанные с координатами $x^i$ соотношениями

$$\begin{gathered} x^0=\ch \frac{u^1}\sigma \ch \frac{u^2}\sigma \ldots \ch \frac{u^n}\sigma,\\ x^0=\ch \frac{u^1}\sigma \ch \frac{u^2}\sigma \ldots \ch \frac{u^n}\sigma,\\ \ldots\,\ldots\,\ldots\\ x^i=\sh \frac{u^i}\sigma \ch \frac{u^{i+1}}\sigma \ldots \ch \frac{u^n}\sigma,\\ \ldots\,\ldots\,\ldots\\\ x^n=\sh \frac{u^n}\sigma, \end{gathered}$$где $i\sigma$, $i^2=-1$, – радиус кривизны пространства $^1S_n$.

Расстояние $\delta$ между точками $X$ и $Y$ определяется соотношением

$$\ch \frac\delta\sigma =\frac{|xEy|}{\sigma^2},$$где $x$, $y$ – определённые выше векторы точек $X$ и $Y$, $E$ – линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов.

Угол между двумя плоскостями пространства Лобачевского $^1S_n$ совпадает с углом между $n$-плоскостями псевдоевклидова пространства $^nR_{n+1}$, соответствующим этим плоскостям. Угол $\varphi$ между плоскостями связан с расстоянием $\delta$ между полюсами этих плоскостей соотношением

$$\delta=\varphi\sigma i,$$когда угол $\varphi$ – действительный, а $\delta$ – чисто мнимое, и

$$\varphi=\frac\delta\sigma \, i,$$когда угол $\varphi$ – чисто мнимый, а расстояние $\delta$ – действительное.

Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта.

В пространстве Лобачевского $^1S_n$ определяются сферы (шары), эквидистантные поверхности, орисферы (орициклы при $n=2$), $m$-симплексы и т. д.

Классификация движений пространства Лобачевского $^1S_n$ как коллинеаций, переводящих точки абсолюта (овальной квадрики) в себя, сводится к классификации вращений псевдоевклидова пространства $^nR_{n+1}$. Группа движений пространства $^1S_n$ изоморфна факторгруппе группы вращений пространства $^nR_{n+1}$ по её подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения от точки; состоит из двух связных компонент, является группой Ли. Движения пространства Лобачевского $^1S_n$ описываются псевдоортогональными операторами индекса $n$. Для задания движения пространства $^1S_n$ достаточно указать, в какие точки переходят $n+1$ точек, не лежащих в одной $(n-1)$-плоскости.

Существует ряд конформных интерпретаций пространства Лобачевского, одной из которых является интерпретация Пуанкаре. Возможна также конформная интерпретация пространства на его плоскости. Кроме указанных существуют интерпретации в комплексных пространствах. В частности, для пространства $^1S_3$ строятся интерпретации Котельникова многообразий прямых.

С помощью проективных интерпретаций наиболее полным образом классифицируются квадрики в пространстве $^1S_n$ и, в частности, на $2$-плоскости $^1S_2$.

Пространство $^1S_n$ является римановым $n$-пространством постоянной отрицательной кривизны $-1/\sigma^2$, где $\sigma i$ – радиус кривизны пространства. Геометрия пространства Лобачевского в достаточно малых окрестностях точек близка к геометрии евклидова пространства такой же размерности.

В целом пространство $^1S_n$ гомеоморфно пространству $R_n$, оно бесконечно простирается во всех направлениях. Всякая $m$-плоскость пространства $^1S_n$, $m<n$, является пространством $^1S_m$. Кроме того, прямые линии пространства $^1S_n$ являются его геодезическими линиями, а $m$-плоскости – вполне геодезическими $m$-поверхностями этого пространства.

В проективной классификации метрик неевклидовых пространств пространство Лобачевского также классифицируется по метрикам прямых, пучков плоскостей и $m$-плоскостей. В частности, на $2$-плоскости пространства Лобачевского проективная метрика на прямой является гиперболической, а в пучках прямых – эллиптической.