Ве́кторная а́лгебра, раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу этих операций относятся линейные операции над векторами – операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется вектор, проведённый из начала $\boldsymbol{a}$ к концу $\boldsymbol{b}$, если конец $\boldsymbol{a}$ и начало $\boldsymbol{b}$ совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}&=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \text { (коммутативность), }\\ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}&=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) \text { (ассоциативность)},\\ \boldsymbol{a}+0&=\boldsymbol{a} \text { (наличие нулевого элемента)},\\ \boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})&=0 \text { (наличие противоположного элемента)}, \end{aligned}$$где $0$ – нулевой вектор, $-\boldsymbol{a}$ есть вектор, противоположный вектору $\boldsymbol{a}$. Разностью $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется вектор $\boldsymbol{x}$ такой, что $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}$.

Произведением $\lambda \boldsymbol{a}$ вектора $\boldsymbol{a}$ на число $\lambda$ в случае $\lambda \neq 0$, $\boldsymbol{a} \neq 0$ называется вектор, модуль которого равен $|\lambda \| \boldsymbol{a}|$ и который направлен в ту же сторону, что и вектор $\boldsymbol{a}$, если $\lambda>0$, и в противоположную, если $\lambda<0$. Если $\lambda=0$ или/и $\boldsymbol{a}=0$, то $\lambda \boldsymbol{\alpha}=0$. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
$$\begin{gathered}\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} \text{ (дистрибутивность относительно сложения векторов),} \\ (\lambda+\mu) \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a} \text{ (дистрибутивность относительно сложения чисел),}\\ \lambda(\mu \boldsymbol{a})=(\lambda \mu) \boldsymbol{a} \text{ (ассоциативность),}\\ 1 \cdot \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\text{ (умножение на единицу).} \end{gathered}$$Множество всех векторов пространства с введёнными в нём операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \ldots, \boldsymbol{c}$ называются линейно зависимыми векторами, и существуют числа $\alpha, \beta, \ldots, \gamma$, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство
$$\tag{1} \alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{b}+\ldots+\gamma \boldsymbol{c}=0.$$Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трёх векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \ldots, \boldsymbol{c}$ нулевой, то они линейно зависимы. Векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \ldots, \boldsymbol{c}$ называются линейно независимыми, если из равенства $(1)$ следует, что числа $\alpha, \beta, \ldots, \gamma$ равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трёхмерном пространстве не более трёх линейно независимых векторов.

Совокупность трёх (двух) линейно независимых векторов $\boldsymbol{a}$ трёхмерного пространства (плоскости), взятых в определённом порядке, образует базис. Любой вектор $\boldsymbol{a}$ единственным образом представляется в виде суммы:

$$\boldsymbol{a}=a_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 \boldsymbol{e}_2+a_3 \boldsymbol{e}_3 .$$Числа $a_1, a_2, a_3$ называют координатами (компонентами) вектора $\boldsymbol{a}$ в данном базисе и пишут : $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$.

Два вектора $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$ равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$, $\boldsymbol{b} \neq 0$, является пропорциональность их соответствующих координат:

$a_1=\lambda b_1$, $a_2=\lambda b_2$, $a_3=\lambda b_3$.

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$, $\boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$ и $\boldsymbol{c}=\left\{c_1, c_2, c_3\right\}$ является равенство

$$\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right|=0 .$$Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$ равны суммам соответствующих координат:

$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\{a_1+b_1,\, a_2+b_2,\, a_3+b_3\}$.

Координаты произведения вектора $\boldsymbol{a}$ на число $\lambda$ равны произведениям координат $\boldsymbol{a}$ на $\lambda$:

$\lambda \boldsymbol{a}=\left\{\lambda a_1,\lambda a_2, \lambda a_3\right\}$.

Скалярным произведением $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ ненулевых векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется произведение их модулей на косинус угла $\varphi$ между ними:

$$(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \varphi .$$За $\varphi$ принимается угол между векторами, не превосходящий $\pi$. Если $\boldsymbol{a}=0$ или $\boldsymbol{b}=0$, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

$$\begin{gathered} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})= (\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}) \text{ (коммутативность),}\\ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}+ \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) +(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}) \text{ (дистрибутивность относительно сложения векторов),}\\ \lambda (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})= (\lambda\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})= (\boldsymbol{a}, \lambda\boldsymbol{b}) \text{ (сочетательность относительно умножения на число),}\\ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=0, \text{ лишь если } \boldsymbol{a}=0 \text{ или/и } \boldsymbol{b}=0 \text { или }\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}. \end{gathered}$$Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов

$$\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\} \text { и } \boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\},$$заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

$$(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 .$$Косинус угла $\varphi$ между ненулевыми векторами $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$ может быть вычислен по формуле

$$\cos \varphi=\frac{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}|},$$где $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ и $|\boldsymbol{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$.

Косинусы углов вектора $\boldsymbol{a}=\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ с векторами базиса $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ называются направляющими косинусами вектора $\boldsymbol{a}$:

$$\begin{aligned} \cos \alpha&=\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \\ \cos \beta&=\frac{a_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \\ \quad \cos \gamma&=\frac{a_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} . \end{aligned}$$Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

$$\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1 \text {. }$$Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором $\boldsymbol{e}$ – ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией $\mathrm{\Pi p}_{\cdot e} \boldsymbol{a}$ вектора $\boldsymbol{a}$ на ось называется направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора $\boldsymbol{a}$ на вектор $\boldsymbol{e}$. Проекции обладают свойствами:$$\begin{gathered}\mathrm{\Pi p}_{\cdot \boldsymbol{e}}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\mathrm{\Pi p}_{\cdot \boldsymbol{e}} \boldsymbol{a}+\mathrm{\Pi p}_{\cdot \boldsymbol{e}} \boldsymbol{b} \text { (аддитивность), } \\ \lambda \mathrm{\Pi p}_{\cdot \boldsymbol{e}} \boldsymbol{a}=\mathrm{\Pi p}_{\cdot \boldsymbol{e}} \lambda \boldsymbol{a} \text { (однородность). } \end{gathered}$$Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ – левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно несогнутые большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рисунок).

Левая и правая тройки векторов.Левая и правая тройки векторов.Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. Ниже тройка векторов базиса $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ считается правой.

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от $\boldsymbol{i}$ к $\boldsymbol{j}$). Псевдоскалярным произведением $\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}$ ненулевых векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется произведение их модулей на синус угла $\varphi$ положительного вращения от $\boldsymbol{a}$ к $\boldsymbol{b}$:

$$\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|\sin \varphi.$$Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
$$\begin{gathered}\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \vee \boldsymbol{a}\text{ (антикоммутативность),}\\ \boldsymbol{a} \vee(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{c}\text{ (дистрибутивность относительно сложения векторов),}\\\lambda(\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}\text{ (сочетательность относительно умножения на число),}\\ \boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}=0,\text{ лишь если }\boldsymbol{a}=0\, \text{ или/и }\, \boldsymbol{b}=0, \text{ или } \boldsymbol{a} \text{ и }\boldsymbol{b} \text{ коллинеарны.} \end{gathered}$$Если в ортонормированном базисе векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ имеют координаты $\left\{a_1, a_2\right\}$ и $\left\{b_1, b_2\right\}$, то

$$\boldsymbol{a} \vee \boldsymbol{b}=a_1 b_2-a_2 b_1 \text {. }$$Векторным произведением $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]$ ненулевых и неколлинеарных векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла $\varphi$ между ними, перпендикулярный $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ и направленный так, что тройка векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b},[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]$ – правая:

$$[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \varphi .$$Векторное произведение полагают равным нулю, если $\boldsymbol{a}=0$ или/и $\boldsymbol{b}=0$, или они коллинеарны. Векторное произведение обладает свойствами:
$$\begin{gathered}[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=-[\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}] \text{ (антикоммутативность),}\\ [\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]+[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}]\text{ (дистрибутивность относительно сложения векторов),}\\ \lambda[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=[\lambda \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=[\boldsymbol{a}, \lambda \boldsymbol{b}]\text{ (сочетательность относительно умножения на число),}\\ [\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}]=0,\text{ лишь если }\boldsymbol{a}=0\, \text{ или/и }\, \boldsymbol{b}=0, \text{ или } \boldsymbol{a} \text{ и }\boldsymbol{b} \text{ коллинеарны.} \end{gathered}$$Если в ортонормированном базисе векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ имеют координаты $\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ и $\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$, то

$$[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=\left\{\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right\} .$$Смешанным произведением $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ называется скалярное произведение вектора $\boldsymbol{a}$ на векторное произведение векторов $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$: $$(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]).$$Смешанное произведение обладает свойствами:$$\begin{gathered}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a})=(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=-(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})=-(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})=-(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}),\\ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=0,\text{ лишь если }\boldsymbol{a}=0\, \text{ или/и }\, \boldsymbol{b}=0,\, \text{ или/и }\, \boldsymbol{c}=0, \text{ или } \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \text{ компланарны,}\\ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})>0, \text{ если тройка векторов }\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \text{ – правая, } (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})<0, \text{ если }\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \text{ – тройка левая.} \end{gathered}$$Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$. Если в ортонормированном базисе векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$ имеют координаты $\left\{a_1, a_2, a_3\right\}$, $\left\{b_1, b_2, b_3\right\}$ и $\left\{c_1, c_2, c_3\right\}$, то

$$(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right| \text {. }$$Двойным векторным произведением $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]$ векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ называется векторное произведение $[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]]$.

При вычислении двойного векторного произведения имеют место формулы:

$$\begin{aligned}{} [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]&=[\boldsymbol{b},(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})]-[\boldsymbol{c},(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})], \\ ([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}],[\boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}])&=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}), \\ [[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}],[\boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}]]&=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}) \boldsymbol{a}=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{d}. \end{aligned}$$