Обобщённая произво́дная типа функции, распространение понятия производной на некоторые классы недифференцируемых функций. Первое определение принадлежит С. Л. Соболеву (Соболев. 1935; Soboleff. 1936), который подошёл к определению обобщённой производной с точки зрения идеи введённого им понятия обобщённой функции.

Пусть $f = f(x) = f(x_1, \dots, x_n)$ и $\varphi = \varphi(x) = \varphi(x_1, \dots, x_n)$ – локально интегрируемые функции на открытом множестве $\Omega$ $n$-мерного пространства $\mathbb R^n$, т. е. интегрируемые по Лебегу на любом замкнутом ограниченном множестве $F\subset \Omega$. Тогда $\varphi$ есть обобщённая частная производная от $f$ по $x_j$ на $\Omega$, и пишут $\varphi = \frac{\partial f}{\partial x_j}$, если для любой бесконечно дифференцируемой функции $\psi$, финитной в $\Omega$,$$\int_\Omega f(x) \frac{\partial \psi }{\partial x_j} \, dx = - \int_\Omega \varphi (x) \psi(x) \, dx.$$Второе (эквивалентное) определение обобщённой производной $\frac{\partial f}{\partial x_j} = \varphi$ заключается в следующем. Если $f$ можно видоизменить на множестве $n$-мерной меры нуль так, что видоизменённая функция (которая снова обозначается через $f$) будет локально абсолютно непрерывной по $x_j$ почти для всех [в смысле $(n–1)$-мерной меры] $x^j=(x_1, \dots, x_{j-1}, x_{j+1}, \dots, x_n)$, принадлежащих проекции $\Omega^j$ области $\Omega$ на плоскость $x_j= 0$, то $f$ имеет частную (в обычном смысле этого слова) производную $\frac{\partial f}{ \partial x_j}$ почти всюду в области $\Omega$. Если $\varphi = \frac{\partial f}{\partial x_j}$ почти всюду на $\Omega$, то $\varphi$ – обобщённая производная от $f$ по $x_j$ на $\Omega$. Таким образом, обобщённая производная определена на $\Omega$ почти всюду; если $f$ непрерывна и имеет на $\Omega$ непрерывную обычную производную $\frac{\partial f}{\partial x_j}$, то последняя есть в то же время обобщённая производная от $f$ по $x_j$ на $\Omega$.

Обобщённые производные $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$, $\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j\partial x_k}, \dots$ высшего порядка определяются по индукции. Они не зависят (почти всюду) от порядка дифференцирования.

Имеется третье (эквивалентное) определение обобщённой производной. Пусть для всякого замкнутого ограниченного множества $F \subset \Omega$ функции $f$ и $\varphi$, заданные на $\Omega$, обладают свойствами:$$\begin{aligned}\lim_{\nu \to \infty} \int_F |f_\nu - f| \, dx &= 0, \\ \lim_{\nu \to \infty} \int_F \biggl|\frac{\partial f_\nu}{\partial \nu_j} - \varphi\biggr| \, dx &= 0,\end{aligned}$$ где функции $f_\nu$ , $\nu = 1, 2, \dots$, непрерывны на $\Omega$ вместе со своими частными производными $\frac{\partial f_\nu}{\partial x_j}$; тогда $\varphi$ есть обобщённая производная по $x_j$ от $f$ на $\Omega$ ($\varphi = \frac{\partial f}{ \partial x_j}$) (см. также пространство Соболева).

С точки зрения теории обобщённых функций обобщённая производная определяется следующим образом. Пусть задана функция $f(x)$, локально суммируемая на $\Omega$, рассматриваемая как обобщённая функция, и пусть $\frac{\partial f}{ \partial x_j}= \varphi$ – частная производная в смысле теории обобщённых функций. Если окажется, что $\varphi$ представляет собой локально суммируемую на $\Omega$ функцию, то тогда по первому (исходному) определению $\varphi$ есть обобщённая производная.

Понятие обобщённой производной вводилось и ранее (см., например, Levi. 1906), где рассматривались обобщённые производные с интегрируемым квадратом на $\Omega$. В дальнейшем многие исследователи приходили к этому понятию независимо от своих предшественников (Никольский. 1969).