Проекцио́нный спектр, индексированное направленным множеством $(A,>)$ семейство симплициальных комплексов $\left\{N_\alpha: \alpha \in A\right\}$ такое, что для каждой пары индексов $\alpha, \alpha^{\prime} \in A$, для которых $\alpha^{\prime}>\alpha$, определено симплициальное отображение (проекция) $\pi_\alpha^{\alpha^{\prime}}$ комплексов $N_{\alpha^{\prime}}$ на комплекс $N_\alpha$. При этом требуется, чтобы $\pi_\alpha^{\alpha^{\prime \prime}}=\pi_\alpha^{\alpha^\prime} \pi_\alpha^{\alpha^{\prime \prime}}$, когда $\alpha^{\prime \prime}>\alpha^{\prime}>\alpha$ (условие транзитивности). Тогда и говорят, что задан проекционный спектр $S=\left\{N_\alpha, \pi_\alpha^{\alpha^{\prime}}, A\right\}$, или просто $S=\left\{N_\alpha, \pi_\alpha^{\alpha \prime}\right\}$. Это понятие принадлежит П. С. Александрову (Aleksandrov. 1928); оно, по сути, эквивалентно общему понятию обратной системы, или обратного спектра (см. в статье Спектр в категории). Действительно, каждый комплекс $N_\alpha$ естественным образом превращается в частично упорядоченное множество симплексов этого комплекса, а следовательно, в топологическое $T_0$-пространство $N_\alpha$. При этом проекции $\pi_\alpha^\alpha$ становятся непрерывными отображениями. Обратно, если $\left\{N_\alpha, \pi_\alpha^{\alpha \prime}\right\}$ – обратная система из топологических $T_0$-пространств и непрерывных проекций $\pi_\alpha^{\alpha \prime}$, то каждое $T_0$-пространство $N_\alpha$ естественно превращается в частично упорядоченное множество, а это частично упорядоченное множество реализуется в виде симплициального комплекса $N_\alpha$. При этом непрерывные проекции $\pi_\alpha^{\alpha \prime}$ становятся симплициальными отображениями. Таким образом, проекционный спектр – это в точности обратная система из топологических $T_0$-пространств (Aleksandrov. 1947).

Понятия «проекционный спектр» (а следовательно, и обратной системы пространств) и нерва системы множеств (см. ниже) оказали огромное влияние не только на развитие топологии, но и на развитие всей теоретико-множественной математики. После этого стало возможным говорить о теории аппроксимации сложных топологических и алгебро-топологических объектов более простыми.

Если для каждого $\alpha \in A$ комплекс $N_\alpha$ конечен, то спектр $S=\left\{N_\alpha, \pi_\alpha^{\alpha \prime}\right\}$ называется конечным проекционным спектром. С каждым проекционным спектром $S=\left\{N_\alpha, \pi_\alpha^{\alpha \prime}\right\}$ связываются следующие понятия. Всякий набор симплексов $\xi=\left\{t_\alpha: \alpha \in A\right\}$ по одному из каждого комплекса $N_\alpha$ спектра $S$ называется нитью этого спектра, если при $\alpha^{\prime}>\alpha$ всегда $\pi_\alpha^{\alpha^{\prime}} t_\alpha^{\prime}=t_\alpha$, где $t_\alpha, t_\alpha \in \xi$. Множество $\bar{S}$ всех нитей с топологией, базу которой образуют множества вида $O t_{\alpha_0}=\left\{\xi^{\prime} \in S: t_{\alpha_0}^{\prime} \leqslant t_{\alpha_0}\right\}$, где $\alpha_0 \in A$, $t_{\alpha_0} \in N_{\alpha_0}$ произвольны, а $t_{\alpha_0}^{\prime} \leqslant t_{\alpha_0}$ означает, что симплекс $t_{\alpha_0}^{\prime}$ нити $\xi^{\prime}$ в комплексе $N_{\alpha_0}$ является гранью симплекса $t_{\alpha_0}$, называется полным пределом спектра $S$. Та же топология получается, если индуцировать на $\bar{S}$ топологию тихоновского произведения $\Pi\left\{\mathcal{N}_\alpha: \alpha \in A\right\}$, где $\mathcal{N} _\alpha$ – соответствующее комплексу $N_\alpha$ топологическое $T_0$-пространство. Нить $\xi^{\prime}=\left\{t_\alpha^{\prime}\right\}$ объемлет нить $\xi=\left\{t_\alpha\right\}$, если для каждого $\alpha \in A$ выполнено $t_\alpha^{\prime} \geqslant t_\alpha$. Нить $\xi$ называется максимальной (соответственно минимальной), если не существует никакой отличной от неё нити, для которой она была бы объемлемой (соответственно объемлющей). Подпространство полного предельного пространства $\bar{S}$ спектра $S$, состоящее из всех максимальных (соответственно из всех минимальных) нитей, называется верхним (соответственно нижним) пределом спектра $S$. Полный предел $\bar{S}$ является полурегулярным (в другой терминологии – семирегулярным) $T_0$-пространством, а верхний $\hat{S}$ и нижний $\check{S}$ пределы суть $T_1$-пространства. Если $S$ – конечный проекционный спектр, то $\bar{S}$, $\hat{S}$ и $\check{S}$ – компактные пространства.

В основе всей теории аппроксимации топологических пространств полиэдрами, вернее симплициальными комплексами, лежит введённое П. С. Александровым (Alexandrov. 1927) понятие нерва системы множеств. Нервом данной системы $\alpha$ множеств называется симплициальный комплекс $N_\alpha$, вершины которого взаимно однозначно соответствуют элементам системы $\alpha$ таким образом, что каждое множество вершин определяет симплекс комплекса $N_\alpha$ тогда и только тогда, когда соответствующие этим вершинам множества системы $\alpha$ имеют непустое пересечение.

Удобнее рассматривать т. н. канонические покрытия пространства $X$. Локально конечное (конечное) покрытие $\alpha$ пространства $X$ называется каноническим, если его элементы – канонические множества (замкнутые) (в другой терминологии – регулярные замкнутые) с дизъюнктными открытыми ядрами. Если из двух канонических покрытий пространства $X$ покрытие $\alpha^{\prime}$ следует за покрытием $\alpha$, т. е. $\alpha^{\prime}$ вписано в $\alpha$ (в этом случае $\alpha^{\prime}>\alpha$), то определено естественное симплициальное отображение $\pi_\alpha^{\alpha^{\prime}}$ (проекция) нерва $N_{\alpha'}$ на нерв $N_\alpha$, которое возникает, если каждому элементу $A^{\alpha^{\prime}} \in \alpha^{\prime}$ покрытия $\alpha^{\prime}$ поставить в соответствие тот единственный элемент $A^\alpha$ покрытия $\alpha$, для которого $A^\alpha \supset A^{\alpha^{\prime}}$. Пусть $\mathfrak{A}(X)$ [соответственно $\mathfrak{A}_0(X)$] обозначает совокупность всех локально конечных (конечных) канонических покрытий пространства $X$. Для каждого $\alpha \in \mathfrak{A}(X)$ [соответственно $\alpha \in \mathfrak{A}_0(X)$] обозначена вся совокупность всех локально конечных (конечных) канонических покрытий пространства $X$. Для каждого $\alpha \in \mathfrak{A}(X)$ [соответственно $\alpha \in \mathfrak{A}_0(X)$] рассматривается комплекс $N_\alpha$, являющийся нервом покрытия $\alpha$. Если $\alpha^{\prime}>\alpha$, то определено симплициальное отображение $\pi_\alpha^{\alpha^{\prime}}: N_{\alpha^{\prime}} \rightarrow N_\alpha$. Полученный таким образом проекционный спектр $S=\left\{N_\alpha, \tau_\alpha^{\alpha^\prime}\right\}$ называется полным (соответственно конечным) проекционным спектром топологического пространства $X$. П. С. Александров (Alexandrov. 1928) ещё в 1928 г. доказал, что каждый метрический ($n$-мерный) компакт является верхним пределом ($n$-мерного) конечного проекционного спектра над счётным множеством индексов. А. Г. Курош в 1934 г. доказал, что каждый компакт есть верхний предел своего конечного проекционного спектра. В 1961 г. В. И. Пономарёв доказал, что каждый паракомпакт есть верхний предел своего полного проекционного спектра, т. е. спектра, построенного над множеством $\mathfrak{A}(X)$ всех локально конечных канонических покрытий пространства $X$. В. И. Пономарёв ввёл понятие расслабления симплициального комплекса $K$, понимая под этим всякий замкнутый подкомплекс $K^{\prime} \subset K$, содержащий все вершины комплекса $K$. Нульмерный комплекс, состоящий из всех вершин комплекса $K$, называется его полным расслаблением (или остовом). Заменяя все комплексы данного проекционного спектра их (полным) расслаблением и сохраняя при этом проекции, получают (полное) расслабление спектра. Исследование неприводимых совершенных отображений паракомпактов сводится к исследованию расслаблений их полных проекционных спектров. При этом предел полного расслабления полного проекционного спектра паракомпакта $X$ есть т. н. абсолют $\dot{X}$ паракомпакта $X$, а предел полного расслабления конечного проекционного спектра любого регулярного пространства – бикомпактное расширение Стоуна – Чеха $\beta \dot{X}$ абсолюта $\dot{X}$ этого регулярного пространства. Всякий конечный абстрактный проекционный спектр эквивалентен спектру над некоторым направленным измельчающимся множеством конечных канонических покрытий некоторого полурегулярного бикомпактного $T_0$-пространства, т. е. получается из этого спектра посредством конечного числа следующих операций: 1) замена спектра изоморфным ему спектром, 2) замена спектра его конфинальной частью, 3) замена спектра спектром, содержащим данный в качестве конфинальной части (теорема Зайцева).

Понятия нерва и проекционного спектра доставили средства для редукции свойств общих пространств, и прежде всего паракомпактов, компактов и метрических компактов, к свойствам комплексов и их симплициальных отображений. Это позволило определить и изучать гомологические и когомологические инварианты общих пространств, а не только полиэдров (см. в статьях Гомологии и когомологии Александрова – Чеха, Спектральные гомологии). Всё это привело к синтезу геометрических и теоретико-множественных идей в топологии.