Спектр в катего́рии, прямой и обратный спектр в категории $\mathscr{C}$. Прямым спектром $\left\{Y^\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$ в категории $\mathscr{C}$ называется семейство объектов $\{Y \alpha\}$ с индексами из направленного множества $\Lambda=\{\alpha\}$ и семейство морфизмов $\left\{f_\alpha^\beta: Y^\alpha \rightarrow Y^\beta\right\}$ из $\mathscr{C}$( определённых при $\alpha \leqslant \beta$), для которых :

1) $f_\alpha^\alpha=1_{Y \alpha}: Y_\alpha \rightarrow Y \alpha$, $\alpha \in \Lambda$;

2) $f_\alpha^\gamma=f_\beta^\gamma \circ f_\alpha^\beta: Y^\alpha \rightarrow Y^\gamma$, $\alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in \Lambda$.

Можно определить категорию $\operatorname{dir}\left\{Y^\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$, объектами которой служат семейства морфизмов $\left\{g_\alpha: Y ^\alpha \rightarrow Z\right\}_{\alpha \in \Lambda}$ таких, что $g_\alpha=g_\beta\circ f_\alpha^\beta$, если $\alpha \leqslant \beta$, $\alpha$, $\beta \in \Lambda$. В этой категории морфизмом объекта $\left\{g_\alpha: Y^\alpha \rightarrow Z\right\}$ в объект $\left\{g_\alpha^{\prime}: Y^\alpha \rightarrow Z^{\prime}\right\}$ называется такой морфизм $h: Z \rightarrow Z^{\prime}$ категории $\mathscr{C}$, что $h g_\alpha=g_\alpha^{\prime}$, $\alpha \in \Lambda$. Инициальный (начальный) объект категории $\operatorname{dir}\left\{Y^\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$ называется пределом прямого спектра $\left\{Y^\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$. Пределы прямых спектров (прямой спектр) множеств, топологических пространств, $R$-модулей являются примерами прямых спектров в соответствующих категориях.

Двойственным образом, обратным спектром $\left\{Y_\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$ в категории $\mathscr{C}$ называется семейство объектов $\left\{Y_\alpha\right\}$ c индексами из направленного множества $\Lambda=\{\alpha\}$ и семейство морфизмов $\left\{f_\alpha^\beta: Y_\beta \rightarrow Y_\alpha\right\}$ категории $\mathscr{C}$ (определённых, если $\alpha \leqslant \beta$ ), для которых:

1) $f_\alpha^\alpha=1_{Y \alpha}: Y_\alpha \rightarrow Y_\alpha$, $\alpha \in \Lambda$;

2) $f_\alpha^\gamma=f_\alpha^\beta \circ f_\beta^\gamma: Y_\gamma \rightarrow Y_\alpha$, $\alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in \Lambda$.

Можно определить категорию $\operatorname{inv} \left\{Y_\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$, объектами которой являются занумерованные семейства таких морфизмов $\left\{g_\alpha: X \rightarrow Y_\alpha\right\}_{\alpha \in \Lambda}$, что $g_\alpha=f_\alpha^\beta \circ g_\beta$, если $\alpha \leqslant \beta$, $\alpha$, $\beta \in \Lambda$, а морфизмом объекта $\left\{g_\alpha: X \rightarrow Y_\alpha\right\}$ в объект $\left\{g_\alpha^{\prime}: X^{\prime} \rightarrow Y_\alpha\right\}$ является морфизм $h: X \rightarrow X^{\prime}$ категории $\mathscr{C}$ такой, что $g_\alpha^{\prime} h=g_\alpha$ при $\alpha \in \Lambda$. Терминальный (интегральный) объект категории $\operatorname{inv} \left\{Y_\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$ называется пределом обратного спектра $\left\{Y_\alpha, f_\alpha^\beta\right\}$. Пределы обратных спектров (обратный спектр) множеств, групп, $R$-модулей являются пределами обратных спектров в соответствующих категориях.

Понятие обратного спектра – категорное обобщение топологического понятия проекционного спектра.