Направленное множество

Напра́вленное мно́жество, непустое множество, на котором задано направление. Направлением на множестве ${\displaystyle X}$ называется рефлексивное и транзитивное отношение на ${\displaystyle X}$, обладающее свойством: любое двухэлементное подмножество множества ${\displaystyle X}$ ограничено сверху. Более подробно: бинарное отношение ${\displaystyle \leqslant }$ на множестве ${\displaystyle X}$ называется направлением на ${\displaystyle X}$ (а ${\displaystyle X}$ – множеством, направленным отношением ${\displaystyle \leqslant }$), если оно обладает свойствами:

(a) ${\displaystyle x\leqslant x}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$ (рефлексивность);

(b) если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$ (транзитивность);

(с) для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ найдётся такое ${\displaystyle z\in X}$, что ${\displaystyle x\leqslant z}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$.

Условие (c) в данном определении может быть заменено на следующее: любое конечное множество ${\displaystyle A\subset X}$ ограничено сверху (т. е. найдётся такое ${\displaystyle z\in X}$, что ${\displaystyle a\leqslant z}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$).

Так определённое направленное множество часто называют направленным вверх, отличая его от множества, направленного вниз. Говорят, что непустое множество ${\displaystyle X}$ направлено вниз отношением ${\displaystyle \leqslant }$, если оно направлено вверх отношением, обратным к ${\displaystyle \leqslant }$, т. е. если отношение ${\displaystyle \leqslant }$ рефлексивно, транзитивно и обладает свойством: для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ найдётся такое ${\displaystyle z\in X}$, что ${\displaystyle z\leqslant x}$ и ${\displaystyle z\leqslant y}$ (эквивалентно, любое конечное множество ${\displaystyle A\subset X}$ ограничено снизу). Под направленным множеством без уточнений обычно понимают множество, направленное вверх.

Всякое непустое линейно упорядоченное множество является направленным (как вверх, так и вниз). Важнейшим частным случаем направленных множеств являются семейства множеств, направленные (вверх или вниз) отношением включения.

В определение направленного множества иногда не включают требование непустоты.