Напра́вленное мно́жество, непустое множество, на котором задано направление. Направлением на множестве $X$ называется рефлексивное и транзитивное отношение на $X$, обладающее свойством: любое двухэлементное подмножество множества $X$ ограничено сверху. Более подробно: бинарное отношение $\leqslant$ на множестве $X$ называется направлением на $X$ (а $X$ – множеством, направленным отношением $\leqslant$), если оно обладает свойствами:

(a) $x\leqslant x$ для всех $x\in X$ (рефлексивность);

(b) если $x\leqslant y$ и $y\leqslant z$, то $x\leqslant z$ (транзитивность);

(с) для любых $x,y\in X$ найдётся такое $z\in X$, что $x\leqslant z$ и $y\leqslant z$.

Условие (c) в данном определении может быть заменено на следующее: любое конечное множество $A\subset X$ ограничено сверху (т. е. найдётся такое $z\in X$, что $a\leqslant z$ для всех $a\in A$).

Так определённое направленное множество часто называют направленным вверх, отличая его от множества, направленного вниз. Говорят, что непустое множество $X$ направлено вниз отношением $\leqslant$, если оно направлено вверх отношением, обратным к $\leqslant$, т. е. если отношение $\leqslant$ рефлексивно, транзитивно и обладает свойством: для любых $x,y\in X$ найдётся такое $z\in X$, что $z\leqslant x$ и $z\leqslant y$ (эквивалентно, любое конечное множество $A\subset X$ ограничено снизу). Под направленным множеством без уточнений обычно понимают множество, направленное вверх.

Всякое непустое линейно упорядоченное множество является направленным (как вверх, так и вниз). Важнейшим частным случаем направленных множеств являются семейства множеств, направленные (вверх или вниз) отношением включения.

В определение направленного множества иногда не включают требование непустоты.