Грани́чные элеме́нты о́бласти (простые концы области), элементы области $B$ комплексной плоскости, определяемые следующим образом. Пусть $B$ – односвязная область расширенной комплексной плоскости, $\partial B$ – граница области $B$. Сечением $c$ области $B$ называется всякая простая замкнутая в сферической метрике жорданова дуга $c=\overline{{ab}}$ с концами $a$ и $b$ (случаи $a=b$, $a$ или $b=\infty$ не исключаются), такая, что $a,b$ принадлежат $\partial B$; неконцевые точки $c$ принадлежат $B$; дуга $c$ разбивает $B$ на две подобласти, такие, что на границе каждой из них найдётся точка, принадлежащая $\partial B$ и отличная от $a$ и $b.$ Последовательность $K$ сечений $c_{n}$ области $B$ называется цепью, если: диаметр $c_{n}$ стремится к $0$ при $n\rightarrow \infty$; для каждого $n$ пересечение $\overline{c_n}\cap \overline{c_{n+1}}$ пусто; любой путь, соединяющий фиксированную точку $O\in B$ в $B$ с сечением $c_{n}$ ($n>1$), пересекает сечение $c_{n-1}$. Две цепи $K=\{c_{n}\}$ и $K^\prime =\{c_{n}^\prime \}$ в $B$ эквивалентны, если каждое сечение $c_{n}$ разделяет в $B$ точку $O$ от всех сечений $c_{n}^\prime$, за исключением конечного их числа. Класс эквивалентности цепей в $B$ называется граничным элементом, или простым концом, области $B$.

Пусть $P$ – граничный элемент области $B$, определяемый цепью $K=\{c_{n}\}$, и пусть $B_{n}$ – такая из двух подобластей, на которые $c_{n}$ разбивает область $B$, что она не содержит точку $O$. Множество $I(P)=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\overline{B_n}$ называется телом (или носителем) граничного элемента. Тело граничного элемента состоит из точек границы и не зависит от выбора цепи $K$ в классе эквивалентности. Главной точкой граничного элемента называется точка граничного элемента, к которой стягиваются (сходятся) сечения по крайней мере одной из цепей, определяющих рассматриваемый граничный элемент. Смежной (или дополнительной) точкой граничного элемента называется всякая его точка, не являющаяся главной. Всякий граничный элемент содержит по крайней мере одну главную точку. Главные точки граничного элемента образуют замкнутое множество. Граничные элементы следующим образом классифицируются по K. Каратеодори (Carathéodory. 1913): граничный элемент 1-го рода содержит единственную главную точку и не содержит смежных точек; граничный элемент 2-го рода – единственную главную точку и бесконечное множество смежных точек; граничный элемент 3-го рода – континуум главных точек и не содержит смежных точек; граничный элемент 4-го рода – континуум главных точек и бесконечное множество смежных точек.

Другое равносильное определение граничных элементов дал П. Кёбе (Koebe. 1915). Оно основано на классах эквивалентности путей. Основной в теории граничных элементов является теорема Каратеодори: при однолистном конформном отображении области $B$ на единичный круг $|\zeta|<1$ между точками окружности $|\zeta|= 1$ и граничными элементами области $B$ существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждая последовательность точек области $B$, сходящаяся к граничному элементу $P$, преобразуется в последовательность точек единичного круга, сходящуюся к точке $\zeta _{0}$, $|\zeta _{0}|=1$, являющейся образом граничного элемента $P$.