Нера́венство Бернште́йна, 1) неравенство в теории вероятностей; 2) неравенство, дающее оценку производной от тригонометрического полинома или алгебраического многочлена.

Неравенство Бернштейна в теории вероятностей

Неравенство Бернштейна в теории вероятностей – уточнение классического неравенства Чебышёва, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. Бернштейн. 1946). Оно позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую. Именно, если для независимых случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ с

$$\mathsf{E} X_j=0,\quad \mathsf{E} X_j^2=b_j,\quad j=1,2,\ldots,n,$$выполняется

$$\mathsf{E}|X_j|^l\leqslant \frac{b_j}{2}H^{l-2}l!$$($l>2$, $H$ – постоянная, не зависящая от $j$), то для суммы $S_n=X_1+\ldots+X_n$ справедливо неравенство Бернштейна ($r>0$):

$$\tag{1} \mathsf{P}\bigl\{|S_n|>r\bigr\} \leqslant 2\exp\left\{ -\frac{r^2}{2(B_n+Hr)} \right\},$$где $\displaystyle B_n=\sum_{j=1}^n b_j$. Для одинаково распределённых ограниченных случайных величин $X_j$, ($\mathsf{E} X_j=0$, $\mathsf{E}X_j^2=\sigma^2$ и $|X_j|\leqslant L$, $j=1,2,\ldots,n$) неравенство (1) приобретает наиболее простой вид:

$$\tag{2} \mathsf{P}\bigl\{|S_n|>t\sigma\sqrt{n}\bigr\} \leqslant 2\exp\left\{ -\frac{t^2}{2(1+\frac a3)}\right\},$$где $a=Lt/\sqrt{n}\sigma$. А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна – Колмогорова используются, в частности, при доказательстве закона повторного логарифма. Некоторое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближённым значением для левой части (2), даваемым центральной предельной теоремой в виде

$$\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_t^\infty e^{-u^2/2}\,du=\frac{2}{\sqrt{2\pi}t} \left(1-\frac{\theta}{t^2}\right)e^{-t^2/2},$$где $0<\theta<1$. После 1967 г. одномерные неравенства Бернштейна были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи (Прохоров А. В. 1968. № 2; № 3; № 6; Прохоров Ю. В. 1968; Юринский. 1970).

Неравенство Бернштейна для производной полинома (многочлена)

Неравенство Бернштейна для производной от тригонометрического полинома или алгебраического многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если $T_n(x)$ – тригонометрический полином порядка не выше $n$,

$$M=\max_{0\leqslant x\leqslant 2\pi}|T_n(x)|,$$то для любого $x$ выполняются неравенства (Бернштейн. 1952):

$$|T_n^{(r)}(x)|\leqslant Mn^r,\quad r=1,2,\ldots.$$Оценка неулучшаема; ибо число $M=1$ для

$$T_n(x)=\cos n(x-x_0)$$и

$$\max_{0\leqslant x\leqslant 2\pi}|T_n^{(r)}(x)|=n^r.$$Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов является частным случаем следующей теоремы (Бернштейн. 1952): если $f(x)$ – целая функция степени $\leqslant\sigma$ и

$$M=\sup_{-\infty <x<\infty}|f(x)|,$$то

$$\sup_{-\infty <x<\infty}|f^{(r)}(x)|\leqslant M\sigma^r \quad (r=1,2,\ldots).$$Неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов имеет следующий смысл ( Бернштейн. 1952.): если многочлен

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\alpha_kx^k$$удовлетворяет условию

$$|P_n(x)|\leqslant M, \quad a\leqslant x\leqslant b,$$то для его производной $P_n^\prime(x)$ выполняется соотношение $$|P_n^\prime(x)|\leqslant \frac{Mn}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}, \quad a\leqslant x\leqslant b,$$которое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. Бернштейн, 1952, С. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства неравенства Маркова самим А. А. Марковым.

Неравенство Бернштейна существенно используется при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений неравенства Бернштейна, в частности для целых функций многих переменных.