Вероя́тности больши́х отклоне́ний, вероятности вида

$${\mathsf P}(S_{n}-b_{n}>a_{n}),\ \ {\mathsf P}(S_{n}-b_{n}<-a_{n})\ \ \textrm{и}\ \ {\mathsf P}(|S_{n}-b_{n}|>a_{n}),$$где

$$S_{n}=\sum_{j=1}^{n}X_{j},$$$\{X_{j}\}$ – последовательность независимых случайных величин, а $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$ – две последовательности чисел такие, что $a_{n}>0$, $\ \dfrac{S_{n}-b_{n}}{a_{n}}\rightarrow 0$ по вероятности.

Если случайные величины $X_{1},X_{2}\ldots$ имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и конечной дисперсией $\sigma^{2}$, то можно положить $b_{n}=0$ и $a_{n}=x_{n}\sigma \sqrt n$, где $x_{n}\rightarrow +\infty$ при $n\rightarrow \infty$. Особенно большое значение имеют теорема Крамера и её усиления.

В случаях, когда необходимо иметь гарантированные оценки для вероятностей больших отклонений, пользуются неравенствами типа Чебышева – это т. н. показательные оценки для вероятностей больших отклонений. Например, если случайные величины $X_j$ независимы, ${\mathsf E}{X_{j}}=0$, ${\mathsf E}{X_{j}^{2}}=\sigma _{j}^{2}$, $|X_{j}|\leqslant L$ с вероятностью $1$, $B_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{n}^{2}$ и $a=xL/B_{n}$, то при всех $x\geqslant 0$ верна оценка

$${\mathsf P}\{|S_{n}|>xB_{n}\}\leqslant \ 2\mathop{\rm exp}\left \{- \frac{x^{2}}{2} \left (1+ \frac{a}{3} \right )^{-1}\right \},$$правая часть которой экспоненциально убывает с ростом $x$.