Нера́венство Ма́ркова для производной от алгебраического многочлена, неравенство, дающее оценку максимального значения этой производной через наибольшее значение самого многочлена. Пусть $P_n(x)$ – алгебраический многочлен степени не выше $n$ и$$M=\max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|P_n(x)\right|.$$Тогда для любого $x$ из отрезка $[a, b]$ выполняется неравенство

$$\left|P_n^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M n^2}{b-a} .  \tag{*}$$Неравенство (*) получено А. А. Марковым-старшим в 1889 г. (Марков. 1948). Неравенство Маркова является точным. Так, если $a=-1$, $b=1$,

$$P_n(x)=\cos n \arccos x,$$то

$$M=1, \quad P_n^{\prime}(1)=n^2$$и в неравенстве (*) достигается знак равенства.

Для производной любого порядка $r \leqslant n$ из неравенства Маркова следует соотношение

$$\left|P_n^{(r)}(x)\right| \leqslant \frac{M 2^r}{(b-a)^r} n^2(n-1)^2 \ldots(n-r+1)^2, \qquad a \leqslant x \leqslant b,$$которое при $r \geqslant 2$ уже не является точным. Точное неравенство для $P_n^{(r)}(x)$ получено В. А. Марковым (Марков. 1892):

$$\left|P_n^{(r)}(x)\right| \leqslant \frac{M 2^r n^2\left(n^2-1^2\right)\left(n^2-2^2\right) \ldots\left(n^2-(r-1)^2\right)}{(b-a)^r(2 r-1) ! !}.$$