Ме́тод вариа́ции пара́метра, метод приближённого решения нелинейных (и линейных) функциональных и операторных уравнений в банаховых пространствах $y=P(x)$, $x \in X$, $y \in Y$, а также для качественных исследований. Метод вариации параметра состоит в том, что уравнение $P(x)=0$, где оператор $P(x)$ непрерывно дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или некоторый нелинейный функционал $\Phi(x)$, связанный с решением этого уравнения, обобщаются путём введения вспомогательного числового (или общего функционального) параметра $\lambda$, принимающего значения на конечном или бесконечном промежутке $\lambda_0 \leqslant \lambda \leqslant \lambda^*$, так: $F(x, \lambda)=0$, где $F(x, \lambda)$, $x \in X$, $\lambda_0 \leqslant \lambda \leqslant \lambda^*$, – оператор со значениями в $Y$, так что $P(x)=0$ получается при $\lambda=\lambda^*: F\left(x, \lambda^*\right)=P(x)$, а уравнение $F\left(x, \lambda_0\right)=0$ легко разрешается или известно его решение $x_0$. При этом предполагается, что оператор $F(x, \lambda)$ непрерывно дифференцируем (в смысле Фреше) по $x$ и $\lambda$, т. е. существуют непрерывные частные производные $F_x^{\prime}(x, \lambda)$ и $F_\lambda^{\prime}(x, \lambda)$, и что существует непрерывный оператор $\Gamma(x, \lambda)= \left[F_x^{\prime}(x, \lambda)\right]^{-1}$ из $Y$ в $X$. Для построения решения $x(\lambda)$ уравнения $F(x, \lambda)=0$ на всём интервале $\lambda_0 \leqslant \lambda \leqslant \lambda^*$ строится соответствующая дифференциальная задача (задача Коши) в предположении, что $x(\lambda)$ непрерывно дифференцируемая функция со значениями в $X$, определяемая этим уравнением:

$$F_x^{\prime}(x, \lambda) \frac{d x}{d \lambda}+F_\lambda^{\prime}(x, \lambda)=0, \quad x\left(\lambda_0\right)=x_0, \tag{1}$$или

$$\frac{d x}{d \lambda}=-\Gamma(x, \lambda) F_\lambda^{\prime}(x, \lambda), \quad x\left(\lambda_0\right)=x_0. \tag{2}$$Интервал $\left[\lambda, \lambda^*\right]$ разбивается точками $\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2< \ldots<\lambda_n=\lambda^*$ на более мелкие подынтервалы длины $h_k=\lambda_k-\lambda_{k-1}$, $k=1,2, \ldots, n$, и к задаче Коши (2) [или (1)] применяются методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом $h_k$ (или несколько таких методов). В результате для построения решения $x(\lambda)$ уравнения $F(x, \lambda)=0$ получаются методы вариации параметра соответствующих типов. Построенное значение $x\left(\lambda^*\right)$ будет решением уравнения $P(x)=0$.

Решение на каждом шаге линейных относительно $\frac{d x}{d \lambda}$ задач вида (1) или обращение линейных операторов $F_x^{\prime}(x, \lambda)$ в (2), или последовательная аппроксимация обратного оператора $\Gamma(x, \lambda)$ проводятся различными методами или опять-таки методом вариации параметра.

Шаги $h_k$ выбираются различными способами, например из условия минимума нормы невязки $\left\|P\left(x_{k+1}\right)\right\|$ как функции многих, вообще говоря, переменных. При этом эффективным является также совместный выбор $h_k$ и свободных параметров метода численного интегрирования, например метода Рунге – Кутта $s$-ro порядка точности, использование корней полиномов Чебышёва и близких к ним и др.

Задача Коши (2) служит средством не только для определения приближённого решения рассматриваемого уравнения, но и для доказательства существования самого решения. Изучен ряд различных способов введения параметра $\lambda$. В качестве числового параметра $\lambda$ может быть использован также и один из естественных параметров, содержащихся в рассматриваемой задаче.

В зависимости от способа введения параметра $\lambda$ метод вариации параметра является прямым или итерационным методом. Совместное применение прямого и итерационного методов называется комбинированным методом вариации параметра. Например, итерационный метод типа усовершенствованного метода Эйлера – Коши с шагом $h_k-1$ [при $F(x, \lambda)=P(x)- (1-\lambda) P\left(x_0\right)$, $\lambda_0-0$ и $\lambda^{*}-1$] является методом 3-го порядка точности и имеет следующий вид:

$$\begin{gathered} x_{i+1}=x_i-\frac{1}{2}\left[\Gamma\left(x_i\right)+ \Gamma\left(x_i-\Gamma\left(x_i\right) P\left(x_i\right)\right)\right] P\left(x_i\right), \\ i=0,1,2, \ldots ; \quad \Gamma(x)=\left[P^{\prime}(x)\right]^{-1}. \end{gathered}$$Каждый метод численного интегрирования порождает свой итерационный метод вариации параметра высокого порядка точности, причём без привлечения производных $P(x)$ порядка выше первой.

Использование методов численного интегрирования в прямом методе вариации параметра совместно с корректировкой результатов после каждого шага с помощью итерационного метода вариации параметра (комбинированный метод вариации параметра) представляет собой один из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач.

Метод вариации параметра достаточно хорошо разработан и исследован для широкого класса задач. Первоначально он был предложен для систем алгебраических и трансцендентных уравнений, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, а затем для решения более общих нелинейных и операторных уравнений. Изучены условия, при которых гарантируется разрешимость уравнения $P(x)=0$ и возможность построения его решения интегрированием задачи Коши (2) на интервале $\left[\lambda_0, \lambda^*\right]$ и установления области его расположения. Изучены условия сходимости и даны оценки погрешности. Исследованы также вопросы применения метода вариации параметра для обращения и псевдообращения линейных операторов, построения псевдорешений (и решений) линейных функциональных уравнений с минимальным уклонением по норме (в заданном подпространстве) от начального значения, суммирования операторных рядов и построения некоторых классов проекторов, определения начальных приближений для итерационных процессов, решения операторных дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры, для доказательства разрешимости нелинейных систем, связанных с вариационными задачами, и построения их решений, минимизации функционалов и многих других. Изучены обширные классы эффективных модификаций метода вариации параметра, в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора $\Gamma(x, \lambda)$ или $\Gamma(x)$. Изучены также широкие классы задач ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. (Впрочем, случай ветвления может быть блокирован другим способом введения параметра $\lambda$ или путём введения дополнительного параметра $\tau$). Метод вариации параметра исследован также как метод «градиентного» типа, а также без предположения существования $\Gamma(x)$.

См. также Метод продолжения по параметру.