Характеристи́ческий многочле́н ма́трицы $A=\left\|a_{i j}\right\|_{1}^n$ над полем $K$, многочлен над полем $K$

$$\begin{aligned} p(\lambda) & =\operatorname{det}(A-\lambda E)= \begin{Vmatrix}a_{11} -\lambda & a_{12} & \ldots &a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \ldots &a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots &a_{n n}-\lambda \end{Vmatrix} \\ & =(-\lambda)^n+ b_1(-\lambda)^{n-1}+ \ldots + b_{n-1}(-\lambda)+ b_n. \end{aligned}$$Степень характеристического многочлена равна порядку квадратной матрицы $A$, коэффициент $b_1$ равен следу матрицы $A$ $\left(b_1=\operatorname{tr} A=a_{11} +a_{22} +\ldots +a_{n n}\right)$, коэффициент $b_m$ равен сумме всех главных миноров $m$-го порядка, в частности $b_n=\operatorname{det} A$. Уравнение $p(\lambda)=0$ называется характеристическим уравнением матрицы $A$ или вековым уравнением.

Корни характеристического многочлена, лежащие в $K$, называются характеристическими значениями или собственными значениями матрицы $A$. Если $K$ – числовое поле, употребляются также термины «характеристические числа» или «собственные числа». Иногда рассматривают корни характеристического многочлена в алгебраическом замыкании поля $K$. Их обычно называют характеристическими корнями матрицы $A$. Матрица $A$ порядка $n$, рассматриваемая над алгебраически замкнутым полем (например, над полем комплексных чисел), имеет $n$ собственных значений $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. См. также Собственное значение.

Подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен. Каждый многочлен над $K$ со старшим коэффициентом $(-1)^n$ является характеристическим для некоторой матрицы над $K$ порядка $n$, называемой матрицей Фробениуса.