Со́бственный ве́ктор оператора $A$, действующего в векторном пространстве $L$ над полем $k$ – ненулевой вектор $x \in L$, который переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е.$$Ax = \lambda x, \quad \lambda \in k.$$Коэффициент $\lambda \in k$ называется собственным значением оператора $A$.

Если оператор $A$ линеен, то множество $L_\lambda$ всех собственных векторов, отвечающих собственному значению $\lambda$ вместе с нулевым вектором, является линейным подпространством. Оно называется собственным подпространством оператора $A$, отвечающим собственному значению $\lambda$, и совпадает с ядром $\operatorname{Ker}(\textrm{A}-\lambda \textrm{I})$ оператора $\textrm{A}-\lambda \textrm{I}$ (т. е. с множеством векторов, переводимых этим оператором в $0$). Если $L$ – топологическое векторное пространство и $\textrm{A}$ – непрерывный оператор, то $L_\lambda$ замкнуто для любого $\lambda$. Вообще говоря, собственное подпространство не обязано быть конечномерным, но если $\textrm{A}$ вполне непрерывен (компактен), то $L_\lambda$ конечномерно для любого ненулевого $\lambda$.

В сущности, наличие собственных векторов у операторов в бесконечномерных пространствах – явление довольно редкое, хотя важные для приложений операторы специальных классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами собственных векторов.

Обобщением понятий собственного вектора и собственного подпространства являются понятия корневого вектора и корневого подпространства. У нормальных (в частности, самосопряжённых или унитарных) операторов все корневые векторы являются собственными, и собственные подпространства, отвечающие различным собственным векторам, взаимно ортогональны.