Лине́йное обыкнове́нное дифференциа́льное уравне́ние, дифференциальное уравнение, линейное относительно искомой функции одного независимого переменного и её производных, т. е. уравнение вида

$$\tag{1} x^{(n)}+a_1(t) x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(t) x^{\prime}+a_n(t) x=f(t),$$где $x(t)$ – искомая, а $a_i(t)$, $f(t)$ – заданные функции; число $n$ называется порядком уравнения (1) (ниже излагается общая теория линейного дифференциального уравнения; об уравнениях 2-го порядка см. также статью Линейное дифференциальное уравнение второго порядка).

1) Если в уравнении (1) функции $a_1, \ldots, a_n$, $f$ непрерывны на промежутке $(a, b)$, то для любых чисел $x_0$, $x_0^{\prime}, \ldots, x_0^{(n-1)}$ и $t_0 \in(a, b)$ существует единственное решение $x(t)$ уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям:

$$x\left(t_0\right)=x_0, \quad x^{\prime}\left(t_0\right)=x_0^{\prime}, \ldots, x^{(n-1)}\left(t_0\right)=x_0^{(n-1)},$$причём это решение определено на всём промежутке $(a, b)$.

Уравнение$$\tag{2} x^{(n)}+a_1(t) x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(t) x^{\prime}+a_n(t) x=0$$называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1). Если $x(t)$ – решение уравнения (2) и

$$x\left(t_0\right)=x^{\prime}\left(t_0\right) =\ldots=x^{(n-1)}\left(t_0\right)=0,$$то $x(t) = 0$. Если $x_1(t), \ldots, x_m(t)$ – решения уравнения (2), то и любая их линейная комбинация

$$x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_m x_m(t)$$является решением уравнения (2). Если $n$ функций$$\tag{3} x_1(t), \ldots, x_n(t)$$являются линейно независимыми решениями уравнения (2), то для всякого решения $x(t)$ уравнения (2) найдутся такие постоянные $C_1, \ldots, C_n$, что$$\tag{4} x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_n x_n(t).$$Таким образом, если (3) – фундаментальная система решений уравнения (2), то его общее решение задаётся формулой (4), где $C_1, \ldots, C_n$ – произвольные постоянные. Для всякой невырожденной $n \times n$-матрицы $B=\left\|b_{i j}\right\|$ и всякого $t_0 \in(a, b)$ существует такая фундаментальная система решений (3) уравнения (2), что

$$x_i^{(n-j)}\left(t_0\right)=b_{i j}, \quad i, j=1, \ldots,\, n .$$Для функций (3) определитель

$$W(t)=\operatorname{det} \left\| \begin{array}{lll} x_1(t) & \ldots & x_n(t) \\ x_1^{\prime}(t) & \ldots & x_n^{\prime}(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ x_1^{(n-1)}(t) & \ldots & x_n^{(n-1)}(t) \end{array} \right\|$$называется определителем Вронского, или вронскианом. Если (3) – фундаментальная система решений уравнения (2), то $W(t) \neq 0$ при всех $t \in(a, b)$. Если $W\left(t_0\right)=0$ хотя бы в одной точке $t_0$, то $W(t) \equiv 0$ и решения (3) уравнения (2) в этом случае линейно зависимы. Для определителя Вронского решений (3) уравнения (2) справедлива формула Лиувилля – Остроградского:

$$W(t)=W\left(t_0\right) \exp \left(-\int_{t_0}^t a_1(\tau) d \tau\right) .$$Общее решение уравнения (1) является суммой общего решения однородного уравнения (2) и частного решения $x_0(t)$ неоднородного уравнения (1) и задаётся формулой

$$x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_n x_n(t)+x_0(t),$$где $x_1(t), \ldots, x_n(t)$ – фундаментальная система решений уравнения (2), а $C_1, \ldots, C_n$ – произвольные постоянные. Если известна фундаментальная система решений (3) уравнения (2), то частное решение неоднородного уравнения (1) можно найти методом вариации произвольных постоянных.

2) Нормальной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка называется система

$$\dot{x}_i=\sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_i+b_i(t), \quad i=1, \ldots,\, n,$$или в векторной форме$$\tag{5} x=A(t) x+b(t),$$где $x(t) \in \mathbb{R}^n$ – искомый вектор-столбец, $A(t)$ – квадратная матрица порядка $n$, $b(t)$ – заданная вектор-функция. Далее предполагается, что $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на некотором промежутке $(a, b)$. В этом случае для любых $t_0 \in(a, b)$ и $x_0 \in \mathbb{R}^n$ существует единственное решение $x(t)$ системы (5), удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_0\right)=x_0$, причём это решение определено на всём промежутке $(a, b)$.

Линейная система$$\tag{6} \dot{x}=A(t)x$$называется однородной, соответствующей неоднородной системе (5). Если $x(t)$ – решение системы (6) и $x\left(t_0\right)=0$, то $x(t) \equiv 0$; если $x_1(t), \ldots, x_m(t)$ – решения, то и любая их линейная комбинация

$$x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_m x_m(t)$$является решением системы (6); если $x_1(t), \cdots x_m(t)$ – линейно независимые решения системы (6), то векторы $x_1(t), \ldots, x_m(t)$ линейно независимы при любом $t \in (a,b)$. Если $n$ вектор-функций$$\tag{7} x_1(t), \ldots, x_n(t)$$являются фундаментальной системой решений системы (6), то для всякого решения $x(t)$ системы (6) найдутся такие постоянные $C_1, \ldots, C_n$, что$$\tag{8} x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_n x_n(t) .$$Таким образом, формулой (8) задаётся общее решение системы (6). Для любых $t_0 \in(a, b)$ и линейно независимых векторов $a_1, \ldots, a_n \in R^n$ существует такая фундаментальная система решений (7) системы (6), что

$$x_1\left(t_0\right)=a_1, \ldots,\, x_n\left(t_0\right)=a_n.$$Для вектор-функций (7), являющихся решениями системы (6), определитель $W(t)$ матрицы$$\tag{9} X(t)=\left\| \begin{array}{ccc}x_{11}(t) & \ldots & x_{n 1}(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1 n}(t) & \ldots & x_{n n}(t)\end{array} \right\|,$$где первый индекс – номер решения, а второй – номер компоненты, называется определителем Вронского, или вронскианом. Если (7) – фундаментальная система решений системы (6), то $W(t)\neq 0$ при всех $t \in(a, b)$, а матрица (9) называется фундаментальной матрицей. Если решения (7) системы (6) линейно зависимы хотя бы в одной точке $t_0$, то они линейно зависимы при любом $t \in(a, b)$ и в этом случае $W(t) \equiv 0$. Для определителя Вронского решений (7) системы (6) справедлива формула Лиувилля:

$$W=W\left(t_0\right) \exp \left(\int_t^t \operatorname{Sp}(A(\tau))\,d \tau\right),$$где $\operatorname{Sp}(A(\tau))=a_{11}(\tau)+\ldots+a_{n n}(\tau)$ – след матрицы $A(\tau)$. Матрица (9) удовлетворяет матричному уравнению $\dot{X}=A(t)\,X(t)$. Если $X(t)$ – фундаментальная матрица системы (6), то для всякой другой фундаментальной матрицы $Y(t)$ этой же системы существует такая постоянная невырожденная $n \times n$-матрица $C$, что $Y(t)=X(t) C$. Если $X\left(t_0\right)=E$, где $E$ – единичная матрица, то фундаментальная матрица $X(t)$ называется нормированной в точке $t_0$ и формулой $x(t)=X(t) x_0$ задаётся решение системы (6), удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_0\right)=-x_0$.

Если матрица $A(t)$ перестановочна со своим интегралом, то фундаментальная матрица системы (6), нормированная в точке $t_0 \in(a, b)$, задаётся формулой

$$X(t)=\exp \left(\int_{t_0}^t A(\tau)\,d \tau\right) .$$В частности, для постоянной матрицы $A$ фундаментальная матрица, нормированная в точке $t_0$, задаётся формулой $X(t)=\exp \left(A\left(t-t_0\right)\right)$.

Общее решение системы (5) является суммой общего решения однородной системы (6) и частного решения $x_0 (t)$ неоднородной системы (5) и задаётся формулой

$$x(t)=C_1 x_1(t)+\ldots+C_n x_n(t)+x_0(t),$$где $x_1(t), \ldots, x_n(t)$ – фундаментальная система решений системы (6), а $C_1, \ldots, C_n$ – произвольные постоянные. Если известна фундаментальная система решений (7) системы (6), то частное решение неоднородной системы (5) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Если $X(t)$ – фундаментальная матрица системы (6), то формулой

$$x(t)=X(t) X^{-1}\left(t_0\right) x_0+\int_{t_0}^t X(t) X^{-1}(\tau) b(\tau)\,d \tau$$задаётся решение системы (5), удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_0\right)=x_0$.

3) Пусть в системах (5) и (6) $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на полуоси $[a,+\infty)$. Все решения системы (5) одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому система (5) называется устойчивой (равномерно устойчивой, асимптотически устойчивой), если все её решения устойчивы (соответственно равномерно, асимптотически устойчивы). Система (5) устойчива (равномерно, асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (соответственно равномерно, асимптотически устойчива) система (6). Поэтому при исследовании вопросов устойчивости линейных дифференциальных систем достаточно ограничиться рассмотрением однородных систем.

Система (6) устойчива тогда и только тогда, когда все её решения ограничены на полуоси $[a,+\infty)$. Система (6) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда$$\tag{10} \lim _{t \rightarrow+\infty} x(t)=0$$для всех её решений $x(t)$. Последнее равносильно выполнению соотношения (10) для $n$ её решений $x_1(t), \ldots, x_n(t)$, образующих фундаментальную систему решений. Асимптотически устойчивая система (6) асимптотически устойчива в целом.

Линейная система с постоянными коэффициентами$$\tag{11} \dot{x}=A x$$устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ матрицы $A$ имеют неположительные действительные части (т. е. $\mathrm{Re} \lambda_i \leqslant 0$, $i=1, \ldots, n$); причём собственные значения с нулевой действительной частью имеют лишь простые элементарные делители. Система (11) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательные действительные части.

4) Система$$\tag{12} \dot{y}=-A^{\rm{T}}(t) y,$$где $A^{\rm{T}}(t)$ – транспонированная матрица $A(t)$, называется сопряжённой системой для системы (6).

Если $x(t)$ и $y(t)$ – произвольные решения систем (6) и (12) соответственно, то скалярное произведение$$(x(t), y(t)) \equiv \operatorname{const}.$$Если $X(t)$ и $Y(t)$ – фундаментальные матрицы решений систем (6) и (12) соответственно, то

$$Y^{\rm{T}}(t) X(t)=C,$$где $C$ – некоторая невырожденная постоянная матрица.

5) Исследование различных специальных свойств линейных систем и, в частности, вопросов устойчивости связано с понятием решения характеристического показателя Ляпунова и развитым А. М. Ляпуновым первым методом в теории устойчивости (см. в статьях Правильная линейная система, Приводимая линейная система).

6) Две системы вида (6) называются асимптотически эквивалентными, если между их решениями $x_1(t)$ и $x_2(t)$ можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что

$$\lim _{t \rightarrow \infty}\left(x_1(t)-x_2(t)\right)=0 .$$Если система (11) с постоянной матрицей $A$ устойчива, то она асимптотически эквивалентна системе $\dot{x}=(A+B(t)) x$, где матрица $B(t)$ непрерывна на $[a,+\infty)$ и$$\tag{13} \int_0^{\infty}\|B(t)\|\,d t<\infty.$$При выполнении условия (13) система $\dot{x}=B(t) x$ асимптотически эквивалентна системе $\dot{x}=0$.

Две системы вида (11) с постоянными коэффициентами называются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$, переводящий ориентированные траектории одной системы на ориентированные траектории другой. Если квадратные матрицы $A$ и $B$ порядка $n$ имеют одинаковое количество собственных значений с отрицательной действительной частью и не имеют собственных значений с нулевой действительной частью, то системы $\dot{x}=A x$ и $\dot{x}=B x$ топологически эквивалентны.

7) Пусть в системе (6) матрица $A(t)$ непрерывна и ограничена на всей действительной оси. Система (6) называется обладающей свойством экспоненциальной дихотомии, если пространство $\mathbb{R}^n$ разлагается в прямую сумму: $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n_1} \oplus \mathbb{R}^{n_2}$, $n_1+n_2=n$, так, что для всякого решения $x(t)$ при $x(0) \in \mathbb{R}^{n_1}$ выполняется неравенство

$$\|x(t)\| \geqslant c e^{k\left(t-t_0\right)},$$а при $x(0) \in \mathbb{R}^{n_2}$ неравенство

$$\|x(t)\| \leqslant c^{-1} e^{-k\left(t-t_0\right)}$$для всех $t_0 \in \mathbb{R}$ и $t \geqslant t_0$, где $0<c \leqslant 1$ и $k>0$ – постоянные. Свойством экспоненциальной дихотомии обладает, например, система (11) с постоянной матрицей $A$, если $A$ не имеет собственных значений с нулевой действительной частью (такая система называется гиперболической). Если вектор-функция $b(t)$ ограничена на всей действительной оси, то система (5) со свойством экспоненциальной дихотомии имеет единственное решение, ограниченное на всей прямой $\mathbb{R}$.