Пра́вильная лине́йная систе́ма обыкновенных дифференциальных уравнений, система вида$$\tag{1}\dot{x}=A(t) x, x \in \mathbb{R}^n$$[где $A(\cdot)$ – суммируемое на каждом отрезке отображение $\mathbb{R}^+\rightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$], обладающая свойством:$$\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \operatorname{tr} A(\tau) d \tau$$существует и равен $\sum_{i=1}^n \lambda_i(A)$, где $\lambda_1(A) \geqslant \ldots \geqslant \lambda_n(A)$ – характеристические показатели Ляпунова системы (1). Для того чтобы треугольная система$$\dot{u}^i=\sum_{j=i}^n p_{i j}(t) u^j,\quad i=1, \ldots, n,$$была правильной, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы $$\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_0^t p_{i i}(\tau) d \tau, \quad i=1, \ldots, n,$$– критерий Ляпунова. Всякая приводимая линейная система и всякая почти приводимая линейная система являются правильными.

Роль понятия правильной линейной системы проясняется на следующей теореме Ляпунова. Пусть система (1) правильная и $k$ её характеристических показателей Ляпунова отрицательны:$$0>\lambda_{n-k+1}(A) \geqslant \ldots \geqslant \lambda_n(A).$$Тогда для всякой системы$$\tag{2}\dot{x}=A(t) x+g(t, x),$$где $g(t, x)$ удовлетворяет следующим условиям: $g, g_x^{\prime}$ непрерывны, $g(0, t) \equiv 0$, $\left\|g_x^{\prime}(x, t)\right\|=O\left(|x|^{\varepsilon}\right)$, где $\varepsilon= \operatorname{const} >0$, – найдётся $k$-мерное многообразие $V^k \subset \mathbb{R}^n$, содержащее точку $x=0$, такое, что всякое решение $x(t)$ системы (2), начинающееся на $V^k$ [т. е. $x(0) \in V^k$], экспоненциально убывает при $t \rightarrow+\infty$, точнее, удовлетворяет неравенству$$|x(t)| \leqslant C_\delta e^{\left[\lambda_{n-k+1}(A)+\delta\right] t}|x(0)|$$(для всякого $\delta>0$ при некотором $C_\delta$).