Вариа́ция произво́льных постоя́нных, метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородной системы, заменяются функциями независимой переменной, которые подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной системе. В конкретных задачах этот метод применялся ещё Л. Эйлером и Д. Бернулли, но его полная разработка принадлежит Ж.-Л. Лагранжу (Lagrange. 1869).

Пусть рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы
$$\tag{1} \dot{x}=A(t) x+f(t), \quad x\left(t_0\right)=x_0,$$где

$$\begin{aligned} A:(\alpha, \beta) &\longrightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right), \\ f:(\alpha, \beta) &\longrightarrow \mathbb{R}^n \end{aligned}$$– суммируемые на каждом конечном отрезке отображения, $t_0 \in(\alpha, \beta)$. Если $\Phi(t)$ – фундаментальная матрица решений однородной системы
$$\tag{2} \dot{y}=A(t) y,$$то $y=\Phi(t) c$, $c \in \mathbb{R}^n$, – общее решение этой системы. Вариация произвольных постоянных представляет собой замену переменных в системе $(1)$:

$$x=\Phi (t) u$$и приводит к формуле Коши для решения задачи $(1)$:

$$x=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_0\right) x_0+\Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(\tau) f(\tau) d \tau,$$которую называют иногда формулой вариации (произвольных) постоянных (см. также Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение).

Идею вариации произвольных постоянных иногда удаётся использовать в более общей нелинейной ситуации для описания связи решений возмущённой полной системы и решений невозмущённой укороченной системы (cм. Alekseev. 1961; Рейзинь. 1971). Например, для решения $x(t)$ задачи

$$\dot{x}=A(t) x+f(t, x), \quad x\left(t_0\right)=x_0$$(где $A$, $f$ – непрерывные отображения и где обеспечивается условие единственности решения) справедлива формула вариации произвольных постоянных, являющаяся интегральным уравнением:

$$x(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_0\right) x_0+\Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi-1(\tau) f(\tau, x(\tau)) d \tau;$$здесь $\Phi(t)$ – фундаментальная матрица решений системы $(2)$.