Характеристический показатель Ляпунова

Характеристи́ческий показа́тель Ляпуно́ва решения линейной системы, верхний предел

$$\lambda_{x(t)}=\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \ln |x(t)|,$$где $x(t)\neq 0$ – решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\dot{x}=A(t) x;\tag{1}$$здесь $x\in\mathbb{R}^{n}$, $A(\cdot)$– суммируемое на каждом отрезке отображение $\mathbb{R}\rightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^n\right)$ или $x\in\mathbb{C}^{n}$, $A(\cdot)$ – суммируемое на каждом отрезке отображение $\mathbb{R}\rightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{C}^{n},\mathbb{C}^{n}\right)$. В координатной записи

$$\begin{gathered} x(t)=\left(x^{1}(t), \ldots, x^{(n)}(t)\right), \\ \dot{x^{i}}=\sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}(t) x^{j},\qquad i=1, \ldots, n,\end{gathered}$$где $a_{j}^{i}(t)$ – суммируемые на каждом отрезке функции, а

$$|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|x^{i}\right|^{2}}$$(или любая другая эквивалентная норма; $\lambda_{x(t)}$ не зависит от выбора нормы в $\mathbb{R}^{n}$ или в $\mathbb{C}^{n})$.

Теорема Ляпунова. Пусть

$$\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\|A(\tau)\|\,d \tau<+\infty ;$$эквивалентно,

$$\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left|a_{j}^{i}(\tau)\right|\,d \tau<+\infty, \qquad i, j=1, \ldots, n.$$Тогда для всякого решения $x(t)\neq 0$ системы (1) характеристический показатель Ляпунова $\lambda_{x(t)}$ – действительное число (т. е. $\neq \pm \infty$). Для характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:

1) $\lambda_{\alpha x(t)}=\lambda_{x(t)}$, $\alpha \neq 0$;

2) $\lambda_{\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right)} \leqslant \max \left(\lambda_{x_{1}(t)}, \lambda_{\left.x_{2} t\right)}\right)$;

3) существуют линейно независимые решения $x_{i}(t)$, $i=1, \ldots, n$, системы (1), обладающие свойством: для всяких $n$ линейно независимых решений $\widehat{x_{i}}(t)$, $i=1, \ldots, n$, системы (1), занумерованных в порядке убывания характеристических показателей Ляпунова, т. е. $\lambda_{\widehat{x}_{i}(t)}\geqslant \lambda_{\widehat x_{j}}(t)$ при $i \leqslant j$, выполняются неравенства

$$\lambda_{\widehat{x}_{i}(t)} \geqslant \lambda_{x_{i}(t)},\qquad i=1, \ldots, n .$$Фундаментальная система решений $x_{i}(t)$, $i=1, \ldots, n$, обладающих этим свойством, называется нормальной; при этом:

a) семейство чисел $\lambda_{i}(A)=\lambda_{x_{i}}(t)$, $i=1,\ldots,n$ не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы $x_{i}(t)$, $i=1,\ldots,n$;

б) для всякого решения $x(t)\neq 0$ системы (1) характеристический показатель Ляпунова $\lambda_{x(t)}$ равен некоторому $\lambda_{i}(A)$;

в) $\lambda_{i}(A) \geqslant \lambda_{j}(A)$, $i\leqslant j$.

Числа $\lambda_{1}(A)\geqslant\ldots\geqslant \lambda_{n}(A)$ называются характеристическими показателями Ляпунова системы (1); число $\lambda_{1}(A)$ часто называется старшим характеристическим показателем Ляпунова системы (1).

Множество всех характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) называется её спектром.

Частные случаи. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. $A(t)\equiv A(0)$). В этом случае $\lambda_{i}(A)$ равны действительным частям собственных значений оператора $A(0)$ (матрицы $\left\|a_{j}^{i}\right\|$).

2) Система с периодическими коэффициентами (т. е. $A(t+T) \equiv A(t)$, $T>0$). В этом случае

$$\lambda_{i}(A)=\frac{1}{T} \ln \left|\mu_{i}\right|,$$где $\mu_{i}$ – мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).

Роль характеристических показателей Ляпунова в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если $\lambda_{1}(A)<0$ ($>0$), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно, неустойчивы). Из того, что $\lambda_{1}(A)<0$, не следует, что нулевое решение системы

$$\dot{x}=A(t) x+O\left(|x|^{2}\right)$$устойчиво по Ляпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) – правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).

Пусть система $x=B(t)x$ получена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию

$$\sup _{t \in \mathbb{R}}\|A(t)\|<+\infty,$$т. е. расстояние между ними, определяемое формулой

$$d(A,B)=\sup_{t \in \mathbb{R}}\|A(t)-B(t)\|,\tag{2}$$мало. При $n>1$ отсюда не следует, что величина

$$\left|\lambda_{1}(A)-\lambda_{1}(B)\right|$$мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодические коэффициенты, а также для некоторых других систем); иными словами, функционалы $\lambda_{i}(A)$ не всюду непрерывны на пространстве систем (1) ($\sup _{t \in \mathbb{R}}\|A(t)\|<+\infty$), наделённом указанной метрикой (2).

Характеристические показатели Ляпунова введены А. М. Ляпуновым, причём не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на $R_+$ (Ляпунов. 1956).