x˙=A(t)x;(1)здесь x∈Rn, A(⋅)– суммируемое на каждом отрезке отображениеR→Hom(Rn,Rn) или x∈Cn, A(⋅) – суммируемое на каждом отрезке отображение R→Hom(Cn,Cn). В координатной записи
x(t)=(x1(t),…,x(n)(t)),xi˙=j=1∑naji(t)xj,i=1,…,n,где aji(t) – суммируемые на каждом отрезке функции, а
∣x∣=i=1∑n∣xi∣2(или любая другая эквивалентная норма; λx(t) не зависит от выбора нормы в Rn или в Cn).
Теорема Ляпунова. Пусть
t→+∞limsupt1∫0t∥A(τ)∥dτ<+∞;эквивалентно,
t→+∞limsupt1∫0taji(τ)dτ<+∞,i,j=1,…,n.Тогда для всякого решения x(t)=0 системы (1) характеристический показатель Ляпунова λx(t) – действительное число (т. е. =±∞). Для характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:
1) λαx(t)=λx(t), α=0;
2) λ(x1(t)+x2(t))⩽max(λx1(t),λx2t));
3) существуют линейно независимые решения xi(t), i=1,…,n, системы (1), обладающие свойством: для всяких n линейно независимых решений xi(t), i=1,…,n, системы (1), занумерованных в порядке убывания характеристических показателей Ляпунова, т. е. λxi(t)⩾λxj(t) при i⩽j, выполняются неравенства
λxi(t)⩾λxi(t),i=1,…,n.Фундаментальная система решений xi(t), i=1,…,n, обладающих этим свойством, называется нормальной; при этом:
a) семейство чисел λi(A)=λxi(t), i=1,…,nне зависит от выбора нормальной фундаментальной системы xi(t), i=1,…,n;
б) для всякого решения x(t)=0 системы (1) характеристический показатель Ляпунова λx(t) равен некоторому λi(A);
в) λi(A)⩾λj(A), i⩽j.
Числа λ1(A)⩾…⩾λn(A) называются характеристическими показателями Ляпунова системы (1); число λ1(A) часто называется старшим характеристическим показателем Ляпунова системы (1).
Множество всех характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) называется её спектром.
Частные случаи. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. A(t)≡A(0)). В этом случае λi(A) равны действительным частям собственных значений оператора A(0) (матрицы aji).
2) Система с периодическими коэффициентами (т. е. A(t+T)≡A(t), T>0). В этом случае
λi(A)=T1ln∣μi∣,где μi – мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).
Роль характеристических показателей Ляпунова в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если λ1(A)<0 (>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно, неустойчивы). Из того, что λ1(A)<0, не следует, что нулевое решение системы
x˙=A(t)x+O(∣x∣2)устойчиво поЛяпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) – правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).
Пусть система x=B(t)x получена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию
t∈Rsup∥A(t)∥<+∞,т. е. расстояние между ними, определяемое формулой
d(A,B)=t∈Rsup∥A(t)−B(t)∥,(2)мало. При n>1 отсюда не следует, что величина
∣λ1(A)−λ1(B)∣мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодические коэффициенты, а также для некоторых других систем); иными словами, функционалы λi(A) не всюду непрерывны на пространстве систем (1) (supt∈R∥A(t)∥<+∞), наделённом указанной метрикой (2).
Характеристические показатели Ляпунова введены А. М. Ляпуновым, причём не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на R+ (Ляпунов. 1956).