Термины

Характеристический показатель Ляпунова

Характеристи́ческий показа́тель Ляпуно́ва решения , верхний

λx(t)=lim supt+1tlnx(t),\lambda_{x(t)}=\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \ln |x(t)|,где x(t)0x(t)\neq 0 – решение

x˙=A(t)x;(1)\dot{x}=A(t) x;\tag{1} здесь xRnx\in\mathbb{R}^{n}, A()A(\cdot) – суммируемое на каждом отрезке RHom(Rn,Rn)\mathbb{R}\rightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^n\right) или xCnx\in\mathbb{C}^{n}, A()A(\cdot) – суммируемое на каждом отрезке отображение RHom(Cn,Cn)\mathbb{R}\rightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{C}^{n},\mathbb{C}^{n}\right). В координатной записи

x(t)=(x1(t),,x(n)(t)),xi˙=j=1naji(t)xj,i=1,,n,\begin{gathered} x(t)=\left(x^{1}(t), \ldots, x^{(n)}(t)\right), \\ \dot{x^{i}}=\sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}(t) x^{j},\qquad i=1, \ldots, n,\end{gathered} где aji(t)a_{j}^{i}(t) – суммируемые на каждом отрезке , а

x=i=1nxi2|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|x^{i}\right|^{2}}(или любая другая эквивалентная норма; λx(t)\lambda_{x(t)} не зависит от выбора нормы в Rn\mathbb{R}^{n} или в Cn)\mathbb{C}^{n}).

Теорема Ляпунова. Пусть

lim supt+1t0tA(τ)dτ<+;\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\|A(\tau)\|\,d \tau<+\infty ;эквивалентно,

lim supt+1t0taji(τ)dτ<+,i,j=1,,n.\limsup_{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left|a_{j}^{i}(\tau)\right|\,d \tau<+\infty, \qquad i, j=1, \ldots, n.Тогда для всякого решения x(t)0x(t)\neq 0 системы (1) характеристический показатель Ляпунова λx(t)\lambda_{x(t)} (т. е. ±\neq \pm \infty). Для характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:

1) λαx(t)=λx(t)\lambda_{\alpha x(t)}=\lambda_{x(t)}, α0\alpha \neq 0;

2) λ(x1(t)+x2(t))max(λx1(t),λx2t))\lambda_{\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right)} \leqslant \max \left(\lambda_{x_{1}(t)}, \lambda_{\left.x_{2} t\right)}\right);

3) существуют линейно независимые решения xi(t)x_{i}(t), i=1,,ni=1, \ldots, n, системы (1), обладающие свойством: для всяких nn линейно независимых решений xi^(t)\widehat{x_{i}}(t), i=1,,ni=1, \ldots, n, системы (1), занумерованных в порядке убывания характеристических показателей Ляпунова, т. е. λx^i(t)λx^j(t)\lambda_{\widehat{x}_{i}(t)}\geqslant \lambda_{\widehat x_{j}}(t) при iji \leqslant j, выполняются

λx^i(t)λxi(t),i=1,,n.\lambda_{\widehat{x}_{i}(t)} \geqslant \lambda_{x_{i}(t)},\qquad i=1, \ldots, n .Фундаментальная система решений xi(t)x_{i}(t), i=1,,ni=1, \ldots, n, обладающих этим свойством, называется нормальной; при этом:

a) семейство чисел λi(A)=λxi(t)\lambda_{i}(A)=\lambda_{x_{i}}(t), i=1,,ni=1,\ldots,n не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы xi(t)x_{i}(t), i=1,,ni=1,\ldots,n;

б) для всякого решения x(t)0x(t)\neq 0 системы (1) характеристический показатель Ляпунова λx(t)\lambda_{x(t)} равен некоторому λi(A)\lambda_{i}(A);

в) λi(A)λj(A)\lambda_{i}(A) \geqslant \lambda_{j}(A), iji\leqslant j.

Числа λ1(A)λn(A)\lambda_{1}(A)\geqslant\ldots\geqslant \lambda_{n}(A) называются характеристическими показателями Ляпунова системы (1); число λ1(A)\lambda_{1}(A) часто называется старшим характеристическим показателем Ляпунова системы (1).

Множество всех характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) называется её спектром.

Частные случаи. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. A(t)A(0)A(t)\equiv A(0)). В этом случае λi(A)\lambda_{i}(A) равны действительным частям собственных значений оператора A(0)A(0) (матрицы aji\left\|a_{j}^{i}\right\|).

2) Система с периодическими коэффициентами (т. е. A(t+T)A(t)A(t+T) \equiv A(t), T>0T>0). В этом случае

λi(A)=1Tlnμi,\lambda_{i}(A)=\frac{1}{T} \ln \left|\mu_{i}\right|,где μi\mu_{i} – мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).

Роль характеристических показателей Ляпунова в теории основана на следующем утверждении: если λ1(A)<0\lambda_{1}(A)<0 (>0>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно, неустойчивы). Из того, что λ1(A)<0\lambda_{1}(A)<0, не следует, что нулевое решение системы

x˙=A(t)x+O(x2)\dot{x}=A(t) x+O\left(|x|^{2}\right)устойчиво поЛяпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) – правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).

Пусть система x=B(t)xx=B(t)x получена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию

suptRA(t)<+,\sup _{t \in \mathbb{R}}\|A(t)\|<+\infty,т. е. расстояние между ними, определяемое формулой

d(A,B)=suptRA(t)B(t),(2)d(A,B)=\sup_{t \in \mathbb{R}}\|A(t)-B(t)\|,\tag{2}мало. При n>1n>1 отсюда не следует, что величина

λ1(A)λ1(B)\left|\lambda_{1}(A)-\lambda_{1}(B)\right|мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодические коэффициенты, а также для некоторых других систем); иными словами, функционалы λi(A)\lambda_{i}(A) не всюду непрерывны на пространстве систем (1) (suptRA(t)<+\sup _{t \in \mathbb{R}}\|A(t)\|<+\infty), наделённом указанной метрикой (2).

Характеристические показатели Ляпунова введены , причём не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на R+R_+ ().

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Линейные уравнения
  • Дифференциальные уравнения