Ри́манова кривизна́, мера отличия метрик риманова и евклидова пространств. Пусть $M$ – точка риманова пространства, $F$ – двумерная регулярная поверхность $x^i=x^i(u, v)$, проходящая через $M$, $L$ – простой замкнутый контур на $F$, проходящий через $M$, $\sigma$ – площадь участка поверхности, ограниченного контуром $L$. Пусть произвольный вектор $a^i$, касательный к поверхности $F$ (т. е. линейно выражающийся через векторы $\frac{\partial x^i}{\partial u}, \frac{\partial x^i}{\partial v}$), перенесён параллельно по $L$. Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к $F$, окажется повернутой по отношению к $a^i$ на угол $\varphi$ (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода $L$). Если при стягивании $L$ в точку $M$ существует предел

$$K=\lim \frac{\varphi}{\sigma},$$то он называется римановой кривизной (кривизной риманова пространства) в данной точке в направлении двумерной поверхности; риманова кривизна зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке $M$, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащего векторы $\frac{\partial x^i}{\partial u}, \frac{\partial x^i}{\partial v}$.

Риманова кривизна $K$ связана с тензором кривизны формулой

$$K=\sum_{m, l, k, j} R_{m l k j} x^{m l} x^{k j},$$где

$$x^{m l}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial x^m}{\partial u} \frac{\partial x^l}{\partial v}-\frac{\partial x^l}{\partial u} \frac{\partial x^m}{\partial v}\right),$$причём параметры $u,v$ выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах $\frac{\partial x^i}{\partial u}, \frac{\partial x^i}{\partial v}$, равна $1$.