Классифика́ция ри́мановых пове́рхностей, изучение римановых поверхностей, связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях.

Комплексная функция $f: R \rightarrow \overline{\mathbb{C}}$ на римановой поверхности $R$ называется аналитической на $R$, если для любой точки $p_0 \in R$ существуют окрестность $U$ и локальный униформизирующий параметр $z=\varphi(p)$, $\varphi\left(p_0\right)=0$, отображающий гомеоморфно $U$ на единичный круг $D=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$ и такой, что сложная функция $F(z)= f\left[\varphi^{-1}(z)\right]$ является однозначной аналитической функцией в $D$. Аналогично определяются на римановой поверхности действительные и комплексные гармонические функции, субгармонические функции и др. Пусть $W$ – некоторый конформно инвариантный класс функций на римановой поверхности $R$, содержащий константы. Задача классификации римановых поверхностей в простейшей постановке состоит в определении условий, при которых данная риманова поверхность $R$ принадлежит или не принадлежит классу $O_W$ таких римановых поверхностей, что класс $W$ на них состоит только из констант. Теория классификации римановых поверхностей выросла в 20 в. из классической теоремы Римана о конформном отображении односвязных римановых поверхностей, проблемы типа, проблемы существования функции Грина римановой поверхности и понятия идеальной границы римановой поверхности.

Теорема Римана утверждает, что любая односвязная риманова поверхность $R$ отображается конформно (и, следовательно, гомеоморфно) на плоскую область $D$ одного из трёх видов: $D=\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup\{\infty\}$ – расширенная комплексная плоскость (случай римановой поверхности $R$ эллиптического типа); $D=\mathbb{C}$ – конечная комплексная плоскость ($R$ – параболического типа); $D=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$ – единичный круг ($R$ – гиперболического типа). Поскольку эллиптический случай отличается от остальных уже топологически, остаётся трудная задача распознавания, когда данная риманова поверхность $R$ принадлежит гиперболическому или параболическому типу. Известно, что замкнутая риманова поверхность рода $g$ при $g=0$ эллиптического типа, при $g=1$ параболического типа, при $g>1$ гиперболического типа, поэтому проблема типа важна в основном для открытых римановых поверхностей. В случае произвольной римановой поверхности $R$, не обязательно односвязной, её типом является тип её универсальной накрывающей поверхности (см. в статье Универсальное накрытие) $\hat{R}$, которая всегда односвязна.

Для односвязных конечных римановых поверхностей $R$ задача отыскания конформного отображения $R$ на единичный круг $D$ эквивалентна задаче отыскания функции Грина $G\left(p, p_0\right)$ для $R$, т. е. положительной гармонической функции с логарифмической особенностью вида $\ln \left(1 /\left|z-z_0\right|\right)$ в полюсе $p_0 \in R$ [$z=\varphi(p)$ – параметр в окрестности $p_0$, $z_0=\varphi\left(p_0\right)$, обращающийся в нуль во всех точках края $\partial R$]. Функция Грина строится и для многосвязных конечных римановых поверхностей гиперболического типа. В случае произвольной открытой римановой поверхности $R$ можно построить исчерпание $\left\{\overline{R}_\nu\right\}_{\nu=1}^{\infty}$ поверхности $R$ с помощью конечных римановых поверхностей $\overline{R}_\nu$ с краем, имеющих функции Грина

$$G_\nu\left(p, p_0\right)=\ln \frac{1}{\left|z-z_0\right|}+\gamma_\nu+O\left(\left|z-z_0\right|\right),\quad z \rightarrow z_0$$[или $G_\nu\left(p, p_0\right) \equiv+\infty$, начиная с некоторого номера $\nu$], и таких, что $\overline{R}_\nu \subset R_{\nu+1}$, $\cup_{\nu=1}^{\infty} \overline{R}_\nu=R$. Постоянная $\gamma_\nu$, $-\infty<\gamma_\nu \leqslant+\infty$, называется постоянной Робена римановой поверхности $\overline{R}_\nu$, $c_\nu=e^{-\gamma_\nu}$ есть ёмкость края $\partial \overline{R}_\nu$ (относительно фиксированного полюса $p_0 \in R$). При стремлении $\nu$ к $\infty$ значения $G_\nu\left(p, p_0\right)$ и $\gamma_\nu$ могут только возрастать. Функция Грина открытой римановой поверхности $R$ определяется как предел $G\left(p, p_0\right)$ возрастающей последовательности $\left\{G_\nu\left(p, p_0\right)\right\}$, если он существует; в противном случае, когда

$$\lim _{\nu \rightarrow \infty} G_\nu\left(p, p_0\right)\equiv+\infty,$$говорят, что риманова поверхность $R$ не имеет функции Грина, причём существование или несуществование функции Грина не зависит от выбора полюса $p_0 \in R$. Класс римановых поверхностей, для которых функция Грина не существует, обозначается $\mathscr{O}_G$. Иными словами, класс $\mathscr{O}_G$ характеризуется тем, что

$$\lim _{\nu \rightarrow \infty} \gamma_\nu=+\infty\quad \text {или}\quad \lim _{\nu \rightarrow \infty} c_\nu=0,$$причём эти соотношения также не зависят от выбора полюса.

Пусть $R$ – открытая риманова поверхность и $\left\{\Delta_\nu\right\}_{\nu=1}^{\infty}$ – т. н. определяющая последовательность замкнутых на $R$ областей $\Delta_\nu$, т. е. такая последовательность, что 1) граница $\Delta_\nu$ есть простая замкнутая кривая на $R$; 2) $\Delta_{\nu+1} \subset \Delta_\nu$, $\nu=1,2, \ldots ;$ 3) $\cap_{\nu=1}^{\infty} \Delta_\nu=\varnothing$, т. е. $\Delta_\nu$ не компактны на $R$. Две определяющие последовательности $\left\{\Delta_\nu\right\}$ и $\left\{\Delta_\nu^{\prime}\right\}$ эквивалентны, если каждому $\nu$ соответствуют такие $n$ и $m$, что $\Delta_n^{\prime} \subset \Delta_\nu$ и $\Delta_m \subset \Delta_\nu^{\prime}$. Классы эквивалентности определяющих последовательностей называются граничными элементами римановой поверхности $R$, a совокупность всех граничных элементов образует идеальную границу $\Gamma$ римановой поверхности $R$, рассматриваемой как топологическая поверхность. Например, идеальная граница единичного круга $D$ состоит из одного граничного элемента. Отметим, что функция Грина открытой римановой поверхности $R$, в отличие от случая гиперболической конечной римановой поверхности, не обязательно обращается в нуль на всех элементах идеальной границы $\Gamma$. Класс $\mathscr{O}_G$ характеризуется также как класс римановых поверхностей с идеальной границей нулевой ёмкости, или, короче, как класс римановых поверхностей с нулевой границей; если $R \notin \mathscr{O}_G$, то $\lim _{\nu \rightarrow \infty} c_\nu=c>0$ называется ёмкостью идеальной границы. Существование или несуществование функции Грина римановой поверхности $R$, а также объём других функциональных классов на $R$ определяются прежде всего этой и другими более тонкими характеристиками идеальной границы, связанными с самими функциональными классами.

Основными функциональными классами $W$ на римановой поверхности $R$ являются следующие:
$A B$ – класс ограниченных однозначных аналитических функций на $R$;
$A D$ – класс однозначных аналитических функций $f(z)$ на $R$ с конечным интегралом Дирихле:

$$D_R(f)=\iint_R\left|\frac{d w}{d z}\right|^2 d x d y,\quad z=x+i y;$$
$H P$, $H B$ и $H D$ – классы однозначных гармонических функций на $R$ соответственно положительных, ограниченных и с конечным интегралом Дирихле. Эти классы могут комбинироваться, например $A B D$ – класс ограниченных однозначных аналитических функций на $R$ с конечным интегралом Дирихле. Для соответствующих классов $\mathscr{O}_W$ римановой поверхности $R$ установлены следующие строгие включения и равенства:

$$\begin{gathered} \mathscr{O}_G\subset \mathscr{O}_{H P} \subset \mathscr{O}_{H B} \subset \mathscr{O}_{A B} \subset \mathscr{O}_{A B D}=\mathscr{O}_{A D},\\ \mathscr{O}_{H B} \subset \mathscr{O}_{H D} \subset \mathscr{O}_{A D},\quad \mathscr{O}_{H B D}=\mathscr{O}_{H D}. \end{gathered}$$Для плоских областей $R$ эти соотношения упрощаются:

$$\begin{gathered} \mathscr{O}_G=\mathscr{O}_{H P}=\mathscr{O}_{H B}=\mathscr{O}_{H D}, \\ \mathscr{O}_{A B} \subset \mathscr{O}_{A B D}=\mathscr{O}_{A D} . \end{gathered}$$Важное значение имеют также классы Харди $A H_p$, $0<p \leqslant+\infty$, однозначных аналитических функций $w= f(z)$ на римановой поверхности $R$. При $0<p<+\infty$ функция $f \in A H_p$, если субгармоническая функция $|f|^p$ имеет на всей римановой поверхности $R$ гармоническую мажоранту, а $A H_{\infty}=A B$ (см. в статье Граничные свойства аналитических функций).

Риманова поверхность параболического типа принадлежит классу $\mathscr{O}_G$, поэтому иногда вопрос о характеризации римановой поверхности класса $\mathscr{O}_G$ называется обобщённой проблемой типа. Имеется много результатов, в которых в различных терминах устанавливаются условия принадлежности римановой поверхности указанным выше классам. Глубокие исследования были посвящены выяснению внутренних свойств римановых поверхностей определённых классов. В частности, оказалось, что римановы поверхности с нулевой границей во многих отношениях аналогичны замкнутым римановым поверхностям. На них строятся аналоги абелевых дифференциалов и соответствующие интегралы.

Более тонкие свойства идеальной границы римановой поверхности $R$ удаётся исследовать также с помощью различных компактификаций $R$. Например, пусть $N(R)$ – винеровская алгебра функций $u$ на римановой поверхности $R$, ограниченных, непрерывных и гармонизуемых на $R$; последнее означает, что для любой регулярной области $G \subset R$ существует обобщённое решение задачи Дирихле в смысле Винера – Перрона (см. в статье Метод Перрона) с граничными данными $u$ на границе $\partial G$. Компактификацией Винера римановой поверхности $R$ называется компактное хаусдорфово пространство $R^*$ такое, что $R$ есть открытое плотное подпространство $R^*$, каждая функция $u \in N(R)$ непрерывно продолжается на $R^*$ и $N(R)$ разделяет точки $R^*$. Компактификация Винера существует для любой римановой поверхности $R$. Множество $\Gamma(R)=R^* \backslash R$ называется винеровской идеальной границей $R$, а подмножество $\Delta(R) \subset \Gamma(R)$, состоящее из тех точек $R^*$, в которых все потенциалы из $N(R)$ обращаются в нуль, – винеровской гармонической границей. В этих терминах, например, включение $R \in \mathscr{O}_G$ равносильно равенству $\Delta(R)=\varnothing$; отсюда получается также строгое включение $\mathscr{O}_{H P} \subset \mathscr{O}_{H B}$.

С классификацией римановых поверхностей связан также вопрос об устранимых множествах на римановой поверхности. Так, компакт $K$ на римановой поверхности $R$ называется $A B$-устранимым, если для некоторой окрестности $U \supset K$ на $R$ все $A B$-функции на $\overline{U} \backslash K$ имеют аналитическое продолжение на всю окрестность $U$.

Внимание многих исследователей привлечено также к вопросам классификации римановых многообразий произвольных размерностей $N \geqslant 2$, связанной с рассмотрением описанных выше классов функций.