Постоя́нная Робе́на, численная характеристика множества точек евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, тесно связанная с ёмкостью множества.

Пусть $K$ – компакт в $\mathbb{R}^n$, $\mu$ – положительная борелевская мера, сосредоточенная на $K$ и нормированная условием $\mu(K)=1$. Интеграл$$V(\mu)=\iint_{K \times K} E_n(x, y) d \mu(x) d \mu(y),$$где$$E_2(x, y)=\ln \frac{1}{|x-y|}, \quad E_n(x, y)=\frac{1}{|x-y|^{n-2}} \quad \text { при }\quad n \geqslant 3,$$$|x-y|$ – расстояние между точками $x$, $y \in R^n$, есть энергия меры $\mu$. Постоянной Робена компакта $K$ называется нижняя грань $\gamma(K)=\inf V(\mu)$ по всем мерам $\mu$ указанного вида. Если $\gamma(K)<+\infty$, то эта грань конечна и достигается на некоторой (единственной) равновесной (или ёмкостной) мере $\lambda>0$, $\gamma(K)=V(\lambda)$, $\lambda(K)=1$, сосредоточенной на $K$; если $\gamma(K)=+\infty$, то $V(\mu)=+\infty$ для всех мер $\mu$ указанного вида. Постоянная Робена компакта $K$ связана с его ёмкостью соотношениями$$\begin{gathered} \gamma(K)=1 / C(K) \quad \text { при }\quad n \geqslant 3, \\ \gamma(K)=-\ln C(K)\quad \text { при } \quad n=2. \end{gathered}$$Если граница $S$ компакта $K$ достаточно гладкая, например состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых замкнутых поверхностей (при $n \geqslant 3$ ) или кривых (при $n=2$ ) класса $C^{1, \alpha}$, $0<\alpha<1$, то равновесная мера $\lambda$ сосредоточена на части $\tilde{S} \subset S$, которая составляет границу той связной компоненты дополнения $C K=\mathbb{R}^n \backslash K$, которая содержит бесконечно удалённую точку. Равновесный потенциал, т. е. потенциал равновесной меры$$u(x)=\int E_n(x, y) d \lambda(y),$$в этом случае принимает на $\tilde{S}$ постоянное значение, равное $\gamma(K)$, что и позволяет вычислить постоянную Робена компакта в простейших случаях (см. статью Задача Робена). Например, постоянная Робена круга радиуса $r>0$ в $\mathbb{R}^2$ равна $-\ln r$, а постоянная Робена шара радиуса $r>0$ в $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 3$, равна $1 / r^{n-2}$. В случае произвольного компакта $K$ положительной ёмкости всюду $u(x) \leqslant \gamma(K)$ и $u(x)=\gamma(K)$ всюду на носителе $S(\lambda)$ равновесной меры $\lambda$, кроме, быть может, точек некоторого полярного множества, причём всегда $S(\lambda) \subset K$.

Пусть $D$ – область расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$, содержащая внутри бесконечно удалённую точку и допускающая функцию Грина $g(z, \infty)$ с полюсом в бесконечности. Тогда имеет место представление$$\tag{1}g(z, \infty)=\ln |z|+\gamma(D)+\varepsilon(z, \infty),$$где $z=x+i y$ – комплексное переменное, $\gamma(D)$ – постоянная Робена области $D$, $\varepsilon(z, \infty)$ – гармоническая функция в $D$, причём$$\lim _{|z| \rightarrow \infty} \varepsilon(z, \infty)=0.$$Определяемая формулой (1) постоянная Робена области $D$ совпадает с постоянной Робена компакта $\partial D$, $\gamma(D)=\gamma(\partial D)$. Если функция Грина для области $D$ не существует, то полагают $\gamma(D)=+\infty$.

Обобщая представление (1), для римановой поверхности $R$, допускающей функцию Грина, может быть получено локальное представление функции Грина $g\left(p, p_0\right)$ с полюсом $p_0 \in R$:$$\tag{2}g\left(p, p_0\right)=\ln \frac{1}{\left|z-z_0\right|}+\gamma\left(R ; p_0\right)+\varepsilon\left(p, p_0\right),$$где $z=z(p)$ – локальный униформизирующий параметр в окрестности полюса $p_0$, $z\left(p_0\right)=z_0$, $\gamma\left(R ; p_0\right)$ постоянная Робена римановой поверхности $R$ относительно полюса $p_0$, $\varepsilon\left(p, p_0\right)$ – гармоническая функция в окрестности $p_0$, причём $\lim _{p \rightarrow p_0} \varepsilon\left(p, p_0\right)=0$. Для римановых поверхностей $R$, не допускающих функцию Грина, полагают $\gamma\left(R ; p_0\right)=+\infty$. В выражении (2) значение постоянной Робена $\gamma\left(R ; p_0\right)$ зависит уже от выбора полюса $p_0 \in P$, но соотношения $\gamma\left(R ; p_0\right)<+\infty$ и $\gamma\left(R ; p_0\right)=+\infty$ не зависят от выбора полюса, что и позволяет использовать понятие постоянной Робена для классификации римановых поверхностей.