Интегра́л Дирихле́, общее название интегралов нескольких типов.

Интеграл

$$\int_0^\infty{{\frac{\sin\alpha x}{x} \cos\beta x\,dx}}= \left\{ \begin{array}{ll} \pi/2\,\, \textsf{ при }\,\beta<\alpha\textrm{,}\\ \pi/4\,\,\textsf{ при }\,\beta=\alpha \\0\,\,\textsf { при }\,\beta>\alpha\textrm{} \end{array} \right. \tag1$$называется интегралом Дирихле, а также разрывным множителем Дирихле. Он является разрывной функцией от параметров $α>0$ и $β>0$. П. Дирихле использовал интеграл $(1)$ в исследованиях о притяжении эллипсоидов (1839). Этот интеграл встречался ранее у Ж. Фурье, С. Пуассона и А.-М. Лежандра.

Интеграл

$$s_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x+t)D_n(t)\,dt},$$где

$$D_n(t)=\frac{\sin(n+1/2)t}{2\sin t/2},$$есть т. н. ядро Дирихле, также называется интегралом Дирихле, он равен $n$-й частичной сумме ряда Фурье функции $f$, т. е.

$$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\nolimits^n_{k=1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx),$$где $a_k, b_k$, $k=1, 2, \ldots$ – коэффициенты Фурье функции $f$. Эта формула является одной из важнейших формул теории рядов Фурье; в частности, она позволила П. Дирихле установить, что ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов, сходится в каждой точке (1829).

Интеграл $$\iiint_G \Biggl ( \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right )^2+\left( \frac {\partial u}{\partial y} \right )^2+\left( \frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\Biggr)\,dx\,dy\,dz \tag2$$также называется интегралом Дирихле. Он используется в теории гармонических функций в т. н. принципе Дирихле, который состоит в том, что при достаточно широких условиях среди всех функций $u$, принимающих заданное значение на границе области $G$, функция, для которой интеграл $(2)$ достигает наименьшего значения, является гармонической в этой области.