Устрани́мое мно́жество $E$ точек комплексной плоскости $\mathbb{C}$ для некоторого класса $K$ однозначных аналитических функций относительно области $G \subset \mathbb{C}$, такое компактное множество $E \subset G$, что любая функция $f(z)$ класса $K$ в $G \backslash E$ продолжается как функция класса $K$ на всю область $G$. Иначе эту ситуацию описывают словами «множество $E$ стирается для класса $K$» или «$E$ есть нуль-множество для класса $K$», сокращённо: $E \in N({K}, G)$. Предполагается, что дополнение $G \backslash E$ есть область и что класс $K$ определён для любой области.

Согласно другому определению, множество $E$ устранимо для класса $K$, $E \in N(K)$, если из того, что $f(z)$ есть функция класса $K$ в дополнении $\bar{\mathbb{C}} \backslash E$, следует, что $f(z)= \operatorname{const}$. При этом включения $E \in N(K, G)$ и $E \in N(K)$, вообще говоря, не равносильны.

Первым результатом об устранимом множестве можно считать классическую теорему Коши – Римана об устранимой особенности: если функция $f(z)$ аналитическая и ограниченная в проколотой окрестности $V(a)=\{z: 0<|z-a|<\delta\}$ точки $a \in \mathbb{C}$, то она продолжается аналитически в точку $a$. Более широкая постановка вопроса (проблема Пенлеве) принадлежит П. Пенлеве: найти условия на множество $E$, необходимые и достаточные для того, чтобы $E \in N(A B, G)$, где $K=A B$ – класс ограниченных аналитических функций (Zoretti. 1911). Сам П. Пенлеве нашёл достаточное условие: $E$ должно иметь нулевую линейную меру Хаусдорфа. Необходимое и достаточное условие в проблеме Пенлеве получено Л. Альфорсом (Ahlfors. 1947): $E \in N(A B, G)$ тогда и только тогда, когда $E$ имеет нулевую аналитическую ёмкость. Существует пример множества $E$ положительной длины, но нулевой аналитической ёмкости. Об устранимом множестве для различных классов аналитических функций одного комплексного переменного и относящихся к ним нерешённых проблемах cм. в работах Носиро. 1963; Xавинсон. 1965; Мельников. 1975; Долженко. 1963.

В случае аналитической функции $f(z)$ многих комплексных переменных $z=\left(z_1, \ldots,z_n\right)$, $n \geqslant 2$, постановка задач об устранимом множестве изменяется в силу классической теоремы Осгуда – Брауна: если $f(z)$ – регулярная аналитическая в области $G \subset \mathbb{C}^n$ функция, за исключением, быть может, компактного множества $E \subset G$ такого, что дополнение $G \backslash E$ связно, то $f(z)$ аналитически продолжается на всю область $G$. Другие теоремы об устранимом множестве при $n \geqslant 2$, а также их связь с понятием области голоморфности (Шабат. 1976; Riihentaus. 1978).

Задачи об устранимом множестве ставятся также для гармонических, субгармонических функций и др. Так, например, пусть $G$ – область евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 3$, $E$ – компакт, $E \subset G$, $H B$ – класс ограниченных гармонических функций, $H D$ – класс гармонических функций с конечным интегралом Дирихле. Тогда включения $E \in N(H B, G)$ и $E \in N(H D, G)$ равносильны и имеют место тогда и только тогда, когда ёмкость $E$ равна нулю (Карлесон. 1971; Хейман. 1980).