Чебышёвское мно́жество, такое множество $M$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$, что для любого $x \in X$ в $M$ существует единственный элемент наилучшего приближения, т. е. элемент $y \in M$, для которого $\rho(x, y)=\rho(x, M).$ Существование и единственность элемента наилучшего приближения являются простейшими, естественными требованиями, весьма удобными как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения. Это и определяет роль чебышёвского множества в теории приближений и теории банаховых пространств. Логически понятие чебышёвского множества является развитием понятия системы Чебышёва.

Конечномерное векторное подпространство $L \subset C(Q)$ с базисом $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ тогда и только тогда является чебышёвским множеством (чебышёвским подпространством), когда функции $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ образуют систему Чебышёва (т. е. удовлетворяют условию Хаара). В евклидовом пространстве чебышёвскими множествами являются прямые, плоскости, выпуклые фигуры и тела. Нетривиальные примеры чебышёвских множеств рассматривал впервые П. Л. Чебышёв (Чебышёв. 1947). Это подпространство алгебраических многочленов степени $\leqslant n$ и множество рациональных функций с фиксированными степенями числителя и знаменателя в пространстве $C[a, b]$. В евклидовых пространствах множество является чебышёвским множеством в том и только в том случае, когда оно замкнуто и выпукло.

В геометрии Лобачевского чебышёвское множество не обязано быть выпуклым (Болтянский. 1966). В двумерном нормированном пространстве, если оно негладко, легко строится невыпуклое чебышёвское множество. Существуют негладкие трёхмерные пространства, в которых каждое чебышёвское множество выпукло. В то же время имеются доказательства выпуклости чебышёвского множества при дополнительных условиях на множество и на пространство, а также условия, эквивалентные выпуклости для чебышёвского множества (см. в статье Aппроксимативная компактность).

Поскольку чебышёвские множества могут быть невыпуклыми, изучаются другие их характеристики. Чебышёвское множество $M$ называется солнцем (Ефимов. 1958), если для любых $x \notin M$ и $z \in \vec{x^{\prime}} x$ (где $x^{\prime}$ – точка в $M$, ближайшая для $x$, $\vec{x^{\prime}} x$ – луч с вершиной $x^{\prime}$, проходящий через $x$) точка $x^{\prime}$ является ближайшей в $M$ для $z$. Условия «$M$ – выпукло» и «$M$ – солнце» в гладких пространствах эквивалентны для чебышёвского множества $M$.

Свойства чебышёвского множества тесно связаны с аппроксимативной компактностью и непрерывностью метрической проекции. Пусть в банаховом пространстве $X$ задано чебышёвское множество $M$: если а) $M$ – ограниченное компактное множество или б) $X$ равномерно выпукло, а $M$ локально компактно, то $M$ является солнцем (при дополнительном условии «$X$ гладко» – выпуклым множеством). Чебышёвское множество с непрерывной метрической проекцией выпукло в гладком рефлексивном пространстве, а в $C[0,1]$ является солнцем. В равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое чебышёвское множество связно (даже пересечения с шарами связны). Однако в $C[0,1]$ семейство функций $x_\alpha$, где $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$, $x_0(t)=0$, $x_\alpha(t)=\alpha(\alpha+1)(\alpha+t)^{-1}$ при $\alpha>0$, является чебышёвским множеством с изолированной точкой, т. е. несвязно и не является солнцем (Dunham. 1975).

В «хороших» пространствах достаточно много чебышёвских множеств. В банаховом пространстве $X$ каждое выпуклое замкнутое множество является чебышёвским множеством тогда и только тогда, когда $X$ строго выпукло (строго нормировано) и рефлексивно. В произвольном рефлексивном пространстве всегда существует чебышёвское множество – гиперплоскость. В $n$-мерном банаховом пространстве существуют чебышёвские подпространства всех размерностей $\leqslant n$ (Залгаллер. 1972). Существует пространство, в котором нет нетривиальных чебышёвских подпространств. В равномерно выпуклом банаховом пространстве каждое замкнутое множество $M$ является почти чебышёвским множеством в том смысле, что множество точек $x \in X$, для которых ближайшая точка в $M$ существует и единственна, является дополнением тощего множества в $X$. В сепарабельных пространствах существуют подпространства любой конечной размерности, являющиеся «почти чебышёвскими множествами». Существует пространство, изоморфное гильбертову, в котором метрическая проекция на некоторое чебышёвское подпространство разрывна.

Понятие чебышёвского множества допускает обобщения, скажем, вместо условия единственности элемента наилучшего приближения можно требовать известную «правильность» множества элементов наилучшего приближения для каждого $x \in X$, например компактность, связность или выпуклость. Результаты, получаемые при таких обобщениях, во многом аналогичны соответствующим результатам для чебышёвского множества.