Бе́та-фу́нкция (B-функция, В-функция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го рода), функция двух переменных $p$ и $q$, определяемая при $p>0$, $q>0$ равенством

$$\mathrm{B}(p, q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,d x. \tag{*}$$Значения бета-функции при различных значениях параметров $p$ и $q$ связаны между собой следующими соотношениями:

$$\begin{gathered} \mathrm{B}(p, q)=\mathrm{B}(q, p), \\ \mathrm{B}(p, q)=\frac{q-1}{p+q-1} \mathrm{B}(p, q-1), \quad q>1. \end{gathered}$$Справедлива формула

$$\mathrm{B}(p, 1-p)=\frac{\pi}{\sin p \pi}, \quad 0<p<1.$$В случае комплексных $p$ и $q$ интеграл (*) сходится, когда $\operatorname{Re} p>0$ и $\operatorname{Re} q>0$. Бета-функция выражается через гамма-функцию:

$$\mathrm{B}(p, q)=\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q}.$$