Аффи́нная дифференциа́льная геоме́трия, раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрические свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или её подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства.

В эквиаффинной плоскости каждые два вектора $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ имеют инвариант $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ – площадь параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$. С помощью этого понятия для кривой $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$, отличной от прямой, строится инвариантный параметр

$$s=\int_{t_0}^t|(\ddot{\boldsymbol{r}}, \, \ddot{\boldsymbol{r}})|^{1 / 3}\, d t,$$называемый эквиаффинной дугой. Дифференциальный инвариант

$$k=\left(\frac{d^2 r}{d s^2}, \frac{d^3 r}{d s^3}\right)$$называется эквиаффинной кривизной плоской кривой. Постоянство эквиаффинной кривизны характеризуют кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение $k=f(s)$ определяет кривую с точностью до эквиаффинного преобразования. Вектор $n=d^2 \boldsymbol{r} / d s^2$ направлен по аффинной нормали к плоской кривой: аффинная нормаль в точке $M$, $k \neq 0$, касается геометрического места середин хорд кривой, параллельных касательной в точке $M$ и совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке $M$ соприкосновение 3-го порядка с кривой.

При переходе к общей аффинной группе у кривой рассматривают два более сложных инварианта: аффинную дугу $\sigma$ и аффинную кривизну $\varkappa$. Они могут быть выражены через введённые выше инварианты $s$ и $k$ :

$$\sigma=\int k^{1 / 2} d s, \quad \varkappa=\frac{1}{k^{3 / 2}} \cdot \frac{d k}{d s}$$(в эквиаффинной геометрии сами величины $s$ и $k$ для краткости называются аффинной дугой и аффинной кривизной). Подобным же образом строятся центроаффинная дуга, центроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой.

В эквиаффинном пространстве каждым трём векторам $\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b},\, \boldsymbol{c}$ может быть отнесён инвариант $(\boldsymbol{a},\, \boldsymbol{b},\,\boldsymbol{c})$ – объём ориентированного параллелепипеда, определяемого этими векторами. Натуральный параметр (эквиаффинная дуга) кривой $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)\left(\boldsymbol{r} \in C^3\right)$ определяется формулой

$$s=\int_{t_0}^t|(\dot{\boldsymbol{r}}, \,\, \ddot{\boldsymbol{r}}, \,\, \overset{...}{\boldsymbol{r}})|^{1 / 6}\,dt .$$Дифференциальные инварианты $\varkappa=\left(\boldsymbol{r}^{\prime}, \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}, \boldsymbol{r} ^\mathrm{IV}\right)$, $\tau=-\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}, \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}, \boldsymbol{r}^\mathrm{IV}\right)$, где штрихи означают дифференцирование по натуральному параметру, называются соответственно эквиаффинной кривизной и эквиаффинным кручением пространственной кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или иного сопровождающего репера; особую роль играет репер, образованный векторами

$$\left\{\boldsymbol{\dot{r}},\quad \boldsymbol{\ddot{r}},\quad \boldsymbol{\overset{...}{\boldsymbol{r}}}+\varkappa\frac{\boldsymbol{\dot{r}}}{4} \right\}$$и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го порядка рассматриваемой кривой. Разработана также центроаффинная теория пространственных кривых (Широков П. А., Широков А. П. 1959).

Для поверхности $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ в эквиаффинном пространстве, отличной от развёртывающейся поверхности, строится тензор

$$g_{i j}=\frac{a_{i j}}{|a|^{1 / 4}},$$где $a_{i j}=\left(r_1, r_2, r_{i j}\right)$, $a=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$, $r_i=\partial_i \boldsymbol{r}$, $r_{i j}=\partial_{i j} \boldsymbol{r}$. Вектор

$$\boldsymbol{N}=\frac{1}{2} g^{k s} \nabla_k r_s,$$где $\nabla_k$ – символ ковариантной производной в связности с метрическим тензором $g_{i j}$, задаёт направление аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Деривационные уравнения

$$\partial_j r_i=\overset{1}{\Gamma}_{i j}{}{^s} r_s+g_{i j} N$$определяют внутреннюю связность 1-го рода $\overset{1\;}{\Gamma^k_{i j}}$ поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связность 2-го рода $\overset{2\;}{\Gamma^k_{i j}}$, определяемая деривационными уравнениями

$$\partial_j v_i=\overset{2}{\Gamma}_{i j} {}^sv_s+A_{i j} v_2,$$где $v$ – ковариантный вектор, определяющий касательную плоскость к поверхности и подчинённый условию нормировки $N v=1$. Связности $\overset{1\;}{\Gamma^k_{i j}}$ и $\overset{2\;}{\Gamma^k_{i j}}$ являются сопряжёнными относительно тензора $g_{i j}$ в смысле А. П. Нордена (Норден. 1950). Тензор

$$T_{i j}^k=\frac{1}{2}\bigl(\overset{1}{\Gamma^k_{i j}}-\overset{2}{\Gamma^k_{i j}}\bigr),$$играющий также основную роль в проективной дифференциальной геометрии, позволяет построить симметрический ковариантный тензор

$$T_{i j k}=g_{k s} T^s_{i j}.$$Строятся также две основные формы поверхности: квадратичная формa

$$\varphi=g_{i j}\, d u^i\,d u^j$$и кубическая форма Фубини – Пика

$$\psi=T_{i j k} \,d u^i\,d u^j\,d u^k.$$Эти формы связаны условием аполярности

$$g^{i j} T_{i j k}=0.$$Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным дифференциальным условиям, определяют поверхность с точностью до эквиаффинных преобразований. Все эти положения обобщаются на многомерный случай.

В аффинном и эквиаффинном пространствах выделяется много специфических классов поверхностей: аффинные сферы (у которых аффинные нормали образуют связку), аффинные поверхности вращения (аффинные нормали пересекают одну собственную или несобственную прямую), аффинные минимальные поверхности и др.

Помимо кривых и поверхностей, изучаются также иные геометрические образы эквиаффинного пространства, например конгруэнции и комплексы прямых, векторные поля и др.

Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей аффинной группы и других её подгрупп как в трёхмерном, так и в многомерном пространстве (центроаффинном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом, биаффинном и т. д.).