Псевдодифференциальный оператор

Псевдодифференциа́льный опера́тор, оператор, действующий в функциональных пространствах на дифференцируемом многообразии и локально по определённым правилам записываемый с помощью некоторой функции, обычно называемой символом псевдодифференциального оператора и удовлетворяющей оценкам производных определённого типа, аналогичных оценкам производных полиномов, являющихся символами дифференциальных операторов.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ – открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ – пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, принадлежащим ${\displaystyle \Omega }$. Простейший псевдодифференциальный оператор в ${\displaystyle \Omega }$ – это оператор ${\displaystyle P:C_{0}^{\infty }(\Omega )\rightarrow C^{\infty }(\Omega )}$, задаваемый формулой

${\displaystyle Pu(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\cdot \xi }p(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi ,}$ (1)

где ${\displaystyle u\in C_{0}^{\infty }(\Omega )}$, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle d\xi }$ – мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle x\cdot \xi }$ – обычное скалярное произведение векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$ – преобразование Фурье функции ${\displaystyle u}$, т. е.

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int e^{-ix\cdot \xi }u(x)\,dx}$

(интеграл здесь и выше берётся по ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), ${\displaystyle p(x,\xi )}$ – гладкая функция на ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{n}}$, удовлетворяющая некоторым условиям и называемая символом псевдодифференциального оператора ${\displaystyle P}$. Оператор ${\displaystyle P}$ вида (1) обозначается также ${\displaystyle p(x,D)}$ или ${\displaystyle p\left(x,D_{x}\right)}$. Если

${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leqslant m}p_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

– многочлен от ${\displaystyle \xi }$ с коэффициентами ${\displaystyle p_{\alpha }\in C^{\infty }(\Omega )}$ [здесь ${\displaystyle \alpha }$ – мультииндекс, т. е. ${\displaystyle \alpha =\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$, ${\displaystyle \alpha _{j}\geqslant 0}$, ${\displaystyle \alpha _{j}}$ – целые, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$, ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ldots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$], то ${\displaystyle p(x,D)}$ совпадает с дифференциальным оператором, получаемым, если в выражение для ${\displaystyle p(x,\xi )}$ вместо ${\displaystyle \xi }$ подставить вектор ${\displaystyle D={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$.

Часто используется класс символов ${\displaystyle p(x,\xi )\in C^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }p(x,\xi )\right|\leqslant C_{\alpha ,\beta ,{\mathcal {K}}}(1+|\xi |)^{m-\rho (\alpha )+\delta (\beta )},\\x\in {\mathcal {R}},\quad \xi \in \mathbb {R} ^{n},\end{aligned}}}$ (2)

где ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ – мультииндексы, ${\displaystyle \partial _{x}={\frac {\partial }{\partial x}}}$, ${\displaystyle \partial \xi ={\frac {\partial }{\partial \xi }}}$, ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ – компакт в ${\displaystyle \Omega }$. Этот класс обозначается ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}}$ [или ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}\left(\Omega \times \mathbb {R} ^{n}\right)}$].

Обычно предполагается, что ${\displaystyle 0\leqslant \rho \leqslant 1}$, ${\displaystyle 0\leqslant \delta \leqslant 1}$. Через ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}}$ [или ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}(\Omega )}$] обозначается класс операторов (также называемых псевдодифференциальными операторами в ${\displaystyle \Omega }$) вида ${\displaystyle p(x,D)+K}$, где ${\displaystyle p\in S_{\rho ,\delta }^{m}}$, а ${\displaystyle K}$ – интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром, т. е. оператор вида

${\displaystyle Ku(x)=\int K(x,y)u(y)\,dy}$,

где ${\displaystyle K(x,y)\in C^{\infty }(\Omega \times \Omega )}$. Функцию ${\displaystyle p(x,\xi )}$ по-прежнему называют символом псевдодифференциального оператора ${\displaystyle p(x,D)+K}$, хотя теперь она определена уже не однозначно, а с точностью до символов, принадлежащих ${\displaystyle S^{-\infty }=\bigcap \limits _{m\in \mathbb {R} }S_{1,0}^{m}}$. Оператор ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m}}$ называется псевдодифференциальным оператором порядка не выше ${\displaystyle m}$ и типа ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \delta }$. Описанный выше дифференциальный оператор принадлежит классу ${\displaystyle L_{1,0}^{m}}$. Наименьшее возможное значение ${\displaystyle m}$ часто называют порядком псевдодифференциального оператора. Классы ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}}$, ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}}$ часто называют классами Хёрмандера.

Можно задавать псевдодифференциальный оператор в ${\displaystyle \Omega }$ с помощью двойных символов, т. е. в виде

${\displaystyle Pu=(2\pi )^{-n}\iint e^{i(x-y)\cdot \xi _{a}}a(x,y,\xi )u(y)\,dy\,d\xi .}$ (3)

При ${\displaystyle a(x,y,\xi )=p(x,\xi )}$ эта формула переходит в (1). Обычно предполагается, что ${\displaystyle a(x,y,\xi )\in S_{\rho ,\delta }^{m}(\Omega \times \Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$, т. е.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta ^{\prime }}\partial _{y}^{\beta ^{\prime \prime }}a(x,y,\xi )\right|\leqslant \\\leqslant C_{\alpha ,\beta ^{\prime },\beta ^{\prime \prime },{\mathcal {K}}}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta \left|\beta ^{\prime }+\beta ^{\prime \prime }\right|},\quad x,y\in {\mathcal {K}},\end{aligned}}}$ (4)

где ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ – компакт в ${\displaystyle \Omega }$. Если ${\displaystyle 0\leqslant \delta <\rho \leqslant 1}$, то построенный класс операторов вида (3) (со всевозможными функциями ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m}}$) совпадает с классом ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}(\Omega )}$. При этом символ ${\displaystyle p(x,\xi )}$ (определённый с точностью до символов из ${\displaystyle S^{-\infty }}$) имеет следующее асимптотическое разложение:

${\displaystyle \left.p(x,\xi )\sim \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha !}}\partial _{\xi }^{\alpha }D_{y}^{\alpha }a(x,y,\xi )\right|_{y=x}}$,

где ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\ldots \alpha _{n}!}$ и суммирование ведётся по всем мультииндексам. Эта запись означает, что разность между ${\displaystyle p(x,\xi )}$ и частью суммы, взятой по тем ${\displaystyle \alpha }$, для которых ${\displaystyle |\alpha |\leqslant N}$, является символом, принадлежащим ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m-(\rho -\delta )N}}$, т. е. символом, порядок которого не выше наибольшего из порядков оставшихся членов.

Псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle P}$ продолжается по непрерывности или с помощью двойственности до оператора ${\displaystyle P:{\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )\rightarrow D^{\prime }(\Omega )}$, где ${\displaystyle D^{\prime }(\Omega )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ – пространства обобщённых функций и обобщённых функций с компактным носителем в ${\displaystyle \Omega }$ соответственно. Если ${\displaystyle \delta <1}$, то при этом псевдодифференциальный оператор обладает следующим свойством псевдолокальности: если ${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )\cap C^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)}$, где ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \Omega }$, то ${\displaystyle Pu\in C^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)}$. Другая формулировка свойства псевдолокальности: ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ (в смысле Шварца) оператора ${\displaystyle P}$ бесконечно дифференцируемо по ${\displaystyle x,y}$ при ${\displaystyle x\neq y}$.

Классический псевдодифференциальный оператор порядка ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle \Omega }$ – псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle P\in L_{1,0}^{m}}$, символ которого ${\displaystyle p\left(x,\xi ^{\text{f}}\right)}$ допускает асимптотическое разложение

${\displaystyle p(x,\xi )\sim \sum _{j=0}^{\infty }\operatorname {ch} i(\xi )p_{m-j}(x,\xi )}$,

где ${\displaystyle \operatorname {ch} i(\xi )\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, ${\displaystyle \operatorname {ch} i(\xi )=1}$ при ${\displaystyle |\xi |\geqslant 1}$, ${\displaystyle \operatorname {ch} i(\xi )=0}$ при ${\displaystyle |\xi |\leqslant 1/2}$, ${\displaystyle p_{m-j}(x,\xi )\in C^{\infty }(\Omega \times (\mathbb {R} \backslash 0))}$ и положительно однородна по ${\displaystyle \xi }$ порядка ${\displaystyle m-j}$

${\displaystyle p_{m-j}(x,t\xi )=t^{m-j}p_{m-j}(x,\xi ),\quad x\in \Omega ,\quad \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash Q}$.

Примером классического псевдодифференциального оператора является дифференциальный оператор (с гладкими коэффициентами). Функция ${\displaystyle p_{m}(x,\xi )}$ называется главным символом классического псевдодифференциального оператора.

Псевдодифференциальный оператор в ${\displaystyle \Omega }$ называется собственным (или псевдодифференциальным оператором с собственным носителем, или псевдодифференциальным оператором с компактным носителем), если проекции носителя его ядра при проектировании ${\displaystyle \Omega \times \Omega }$ на каждый сомножитель являются собственными отображениями. Собственный псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle P}$ отображает ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ в ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ и продолжается по непрерывности до отображений ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\rightarrow C^{\infty }(\Omega )}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )\rightarrow {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ и ${\displaystyle D^{\prime }(\Omega )\rightarrow D^{\prime }(\Omega )}$, он может быть записан в виде (1) с символом ${\displaystyle {p}(x,\xi )=e^{-ix\cdot \xi }p\left(e^{ix\cdot \xi }\right)}$, где экспонента в скобках рассматривается как функция от ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle \xi }$ является параметром.

Пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ – два псевдодифференциальных оператора в ${\displaystyle \Omega }$, из которых один является собственным. Тогда имеет смысл их произведение (композиция) ${\displaystyle C=AB}$. Важную роль в теории псевдодифференциальных операторов играет теорема композиции: если ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m_{1}}}$, ${\displaystyle B\in L_{\rho ,\delta }^{m_{2}}}$, ${\displaystyle 0\leqslant \delta \leqslant \rho \leqslant 1}$, то ${\displaystyle C=AB\in L_{\rho ,\delta }^{m_{1}+m_{2}}}$. Если при этом ${\displaystyle \delta <\rho }$, ${\displaystyle c(x,\xi )}$, ${\displaystyle a(x,\xi )}$, ${\displaystyle b(x,\xi )}$ – символы операторов ${\displaystyle C,A,B}$, то

${\displaystyle c(x,\xi )\sim \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha !}}\left[\partial _{\xi }^{\alpha }a(x,\xi )\right]\left[D_{x}^{\alpha }b(x,\xi )\right]}$.

В частности, если ${\displaystyle A,B}$ – классические псевдодифференциальные операторы порядков ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, то ${\displaystyle C}$ – классический псевдодифференциальный оператор порядка ${\displaystyle m_{1}+m_{2}}$ с главным символом ${\displaystyle c_{m_{1}+m_{2}}(x,\xi )=a_{m_{1}}(x,\xi )b_{m_{2}}(x,\xi )}$, где ${\displaystyle a_{m_{1}}(x,\xi )}$, ${\displaystyle b_{m_{2}}(x,\xi )}$ – главные символы операторов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Если ${\displaystyle P\in L_{\rho }^{m}}$, ${\displaystyle \delta }$, ${\displaystyle 0\leqslant \delta \leqslant \rho \leqslant 1}$, то существует и единственен сопряжённый псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle P^{*}\in L_{\rho ,\delta }^{m}}$, для которого ${\displaystyle (Pu,v)=\left(u,P^{*}v\right)}$, ${\displaystyle u,v\in C_{0}^{\infty }(\Omega )}$, где ${\displaystyle (u,v)=\int u(x){\overline {v(x)}}\,dx}$ – скалярное произведение ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle L_{2}(\Omega )}$. Если при этом ${\displaystyle \delta <\rho }$ и ${\displaystyle p^{*}(x,\xi )}$ – символ псевдодифференциального оператора ${\displaystyle P^{*}}$, а ${\displaystyle p(x,\xi )}$ – символ ${\displaystyle P}$, то

${\displaystyle p^{*}(x,\xi )\sim \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha !}}\partial _{\xi }^{\alpha }D_{x}^{\alpha }{\overline {p(x,\xi )}}}$.

Таким образом, собственные псевдодифференциальные операторы при ${\displaystyle \delta \leqslant \rho }$ образуют алгебру с инволюцией, задаваемой переходом к сопряжённому оператору. Произвольные псевдодифференциальные операторы образуют модуль над этой алгеброй.

Tеорема об ограниченности псевдодифференциального оператора классов Хёрмандера в ${\displaystyle L_{2}}$-нормах в наиболее точной форме состоит в следующем (Taylor. 1974): пусть ${\displaystyle \Omega =R^{n}}$, оператор ${\displaystyle P}$ имеет вид (3) с двойным символом ${\displaystyle a(x,y,\xi )}$, удовлетворяющим оценкам (4), где числа ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \delta }$ удовлетворяют условиям

${\displaystyle 0\leqslant \rho \leqslant 1,\quad 0\leqslant \delta \leqslant 1,\quad m\leqslant 0,\quad \rho -\delta -{\frac {m}{n}}\geqslant 0;}$ (5)

тогда оператор ${\displaystyle P}$ продолжается до ограниченного опеpaтopa ${\displaystyle P:L_{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$. В частности, при условии (5) ограничены в ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ псевдодифференциальные операторы вида (1) с символами, удовлетворяющими оценкам (2) равномерно по ${\displaystyle x}$ (т. е. с постоянными ${\displaystyle C_{\alpha ,\beta ,{\mathcal {K}}}=C_{\alpha ,\beta }}$, не зависящими от ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$). Отсюда следует, например, ограниченность в ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ операторов ${\displaystyle P\in L_{\rho ,\delta }^{0}}$, если ${\displaystyle 0\leqslant \delta \leqslant \rho <1}$ и ядро оператора ${\displaystyle P}$ имеет компактный носитель (или оценки символа опять-таки равномерны по ${\displaystyle x}$). При ${\displaystyle \rho <\delta }$ или при ${\displaystyle \delta =1}$ операторы такого вида уже не обязательно ограничены. Аналогично, в общей ситуации невыполнение одного из двух последних условий (5) уже даёт класс псевдодифференциальных операторов, содержащий неограниченные операторы.

В терминах оценок символа можно дать условия ограниченности псевдодифференциального оператора в ${\displaystyle L_{p}}$-нормах, а также в гёльдеровых и в жевреевских нормах (^[1]).

Если в ${\displaystyle R^{n}}$ дан оператор ${\displaystyle P=p(x,D)}$, где ${\displaystyle P\in S_{\rho ,\delta }^{m}}$, ${\displaystyle 0\leqslant \delta <\rho \leqslant 1}$, причём оценки (2) равномерны по ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, то этот оператор продолжается до ограниченного оператора ${\displaystyle {P}:H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\rightarrow H^{s-m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle H^{t}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ означает обычное пространство Соболева на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ [иногда обозначаемое также ${\displaystyle W_{2}^{t}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$].

Класс псевдодифференциальных операторов ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}}$ при ${\displaystyle 1-\rho \leqslant \delta <\rho \leqslant 1}$ в естественном смысле инвариантен относительно диффеоморфизмов так же, как и его подкласс классических псевдодифференциальных операторов. Это позволяет определить класс псевдодифференциальных операторов ${\displaystyle L_{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ и классические псевдодифференциальные операторы на произвольном гладком многообразии ${\displaystyle X}$. Формула замены переменной в символе при диффеоморфизме ${\displaystyle \varkappa :\Omega \rightarrow \Omega _{1}}$, где ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Omega _{1}}$ – области в ${\displaystyle X}$, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.a_{1}(y,\eta )\right|_{y=\varkappa (x)}\sim \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha !}}a^{(\downarrow \alpha )}\left(x^{t},\varkappa ^{\prime }(x)\eta \right)\times \\\times \left.D_{z}^{\alpha }e^{i\varkappa _{x}^{\prime \prime }(z)\cdot \eta }\right|_{z=x},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle a(x,\xi )}$ – символ оператора ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m}(\Omega )}$, ${\displaystyle a_{1}(y,\eta )}$ – символ оператора ${\displaystyle A_{1}\in L_{\rho ,\delta }^{m},\left(\Omega _{1}\right)}$, заданного формулой ${\displaystyle A_{1}u=[A(u\circ \varkappa )]\circ \varkappa ^{-1}}$, т. е. полученного из ${\displaystyle A}$ заменой переменных ${\displaystyle \varkappa }$; ${\displaystyle \varkappa ^{\prime }(x)}$ обозначает якобиан отображения ${\displaystyle \varkappa }$, ${\displaystyle {}^{t}\varkappa ^{\prime }(x)}$ – транспонированная матрица,

${\displaystyle a^{(\alpha )}(x,\xi )=\partial _{\xi }^{\alpha }a(x,\xi ),\quad \varkappa _{x}^{\prime \prime }(z)=\varkappa (z)-\varkappa (x)-\varkappa ^{\prime }(x)(z-x)}$.

В частности, отсюда следует, что главный символ классического псевдодифференциального оператора на многообразии ${\displaystyle X}$ является корректно определённой функцией на кокасательном расслоении ${\displaystyle T^{*}X}$.

Если ${\displaystyle X}$ – компактное многообразие (без края), то псевдодифференциальные операторы на ${\displaystyle X}$ образуют алгебру с инволюцией, если вводить инволюцию с помощью скалярного произведения, задаваемого гладкой положительной плотностью. Oпеpaтop ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{0}(X)}$ ограничен в ${\displaystyle L_{2}(X)}$, а если ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m}(X)}$, где ${\displaystyle m<0}$, то такой псевдодифференциальный оператор компактен в ${\displaystyle L_{2}(X)}$. Для классических псевдодифференциальных операторов ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \inf \|A+K\|=\sup _{(x,\xi )\in T^{*}X}\left|a_{0}(x,\xi )\right|}$,

где ${\displaystyle a_{0}(x,\xi )}$ – главный символ оператора ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle K}$ пробегает множество всех компактных операторов в ${\displaystyle L_{2}(X)}$.

Оператор ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ непрерывно отображает ${\displaystyle H^{s}(X)}$ в ${\displaystyle H^{s-m}(X)}$ при любом ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$.

Параметриксом псевдодифференциального оператора ${\displaystyle A}$ называется такой псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle B}$, что ${\displaystyle I-AB}$ и ${\displaystyle I-BA}$ – псевдодифференциальные операторы порядка ${\displaystyle -\infty }$, т. е. интегральные операторы с гладким ядром. Пусть ${\displaystyle A\in L_{\rho ,\delta }^{m}(\Omega )}$, ${\displaystyle 0\leqslant \delta <\rho \leqslant 1}$, ${\displaystyle a(x,\xi )}$ – символ оператора ${\displaystyle A}$. Достаточным условием существования параметрикса оператора ${\displaystyle A}$ является выполнение оценок:

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}|a(x,\xi )|\geqslant \varepsilon |\xi |^{m_{0}},\,\,|\xi |\geqslant R,\,\,\varepsilon >0,\,\,m_{0}\in \mathbb {R} ;\\\left|a^{-1}(x,\xi )\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }a(x,\xi )\right|\leqslant c_{\alpha ,\beta ,K}|\xi |^{-\rho |\alpha |+\delta |\beta |},\,\,|\xi |\geqslant R,\,\,x\in K.\end{aligned}}\right\}}$ (6)

В этом случае существует параметрикс ${\displaystyle B\in L_{\rho ,\delta }^{-m_{0}}(\Omega )}$. Простейшим следствием существования параметрикса является гипоэллиптичность оператора ${\displaystyle A}$ : если ${\displaystyle Au\in C^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)}$, где ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \Omega }$, то ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega ^{\prime })}$. Иными словами, ${\displaystyle \operatorname {sing} \operatorname {supp} Au=\operatorname {sing} \operatorname {supp} u}$. Верен также следующий более точный факт (теорема регулярности): если ${\displaystyle Au\in H_{\text{loc}}^{s}\left(\Omega ^{\prime }\right)}$, то ${\displaystyle u\in H_{\text{loc}}^{s+m_{0}}\left(\Omega ^{\prime }\right)}$. Имеет место и микролокальная теорема регулярности: ${\displaystyle WF(Au)=WF(u)}$, где ${\displaystyle WF(u)}$ означает волновой фронт обобщённой функции ${\displaystyle u}$.

Условия (6) при ${\displaystyle 1-\rho \leqslant \delta <\rho \leqslant 1}$ инвариантны относительно диффеоморфизмов. Поэтому имеет смысл соответствующий класс операторов на многообразии ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X}$ – компактное многообразие, то такой оператор ${\displaystyle A}$ фредгольмов в ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$, т. е. имеет в ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ конечномерные ядро и коядро, а также замкнутый образ.

Классический псевдодифференциальный оператор ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle m}$ с главным символом ${\displaystyle a_{m}(x,\xi )}$ называется эллиптическим, если ${\displaystyle a_{m}(x,\xi )\neq 0}$ при ${\displaystyle \xi \neq 0}$. Такой оператор удовлетворяет условиям (6) с ${\displaystyle m_{0}=m}$ и имеет параметрикс, также являющийся классическим псевдодифференциальным оператором порядка ${\displaystyle m}$. На компактном многообразии ${\displaystyle X}$ такой псевдодифференциальный оператор задаёт фредгольмов оператор

${\displaystyle A:Hs(X)\longrightarrow H^{s-m}(X),\quad s\in \mathbb {R} }$.

Все эти определения и факты переносятся на псевдодифференциальные операторы, действующие в вектор-функциях или, более общо, в сечениях векторных расслоений. Для эллиптического оператора на компактном многообразии ${\displaystyle X}$ индекс задаваемого им отображения ${\displaystyle A:H^{s}(X)\rightarrow H^{s-m}(X)}$ на соболевских классах сечений не зависит от ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ и может быть явно вычислен (см. в статье Формулы индекса).

Роль псевдодифференциального оператора состоит в том, что имеется ряд операций, выводящих за класс дифференциальных операторов, но сохраняющих класс псевдодифференциальных операторов. Например, резольвента и комплексные степени эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии являются классическими псевдодифференциальными операторами, они возникают при сведении на границу эллиптической граничной задачи (см., например,^[2]; Taylor. 1974 и предпоследнюю статью в ^[3]).

Существуют разные варианты теории псевдодифференциальных операторов, приспособленные к решению различных задач анализа и математической физики. Часто возникают псевдодифференциальные операторы с параметром, необходимые, например, для изучения резольвенты и асимптотики собственных значений. Важную роль играют различные варианты теории псевдодифференциальных операторов на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, учитывающие эффекты, связанные с описанием поведения функции на бесконечности, и частично инспирированные математическими вопросами квантовой механики, возникающими при изучении квантования классических систем (Шубин. 1978; Псевдодифференциальные операторы. 1967). В теории локальной разрешимости уравнений с частными производными и в спектральной теории полезны псевдодифференциальные операторы, поведение которых описывается с помощью весовых функций, заменяющих ${\displaystyle |\xi |}$ в оценках типа (2) (Taylor. 1974; ^[4]). Построена алгебра псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем, содержащая, в частности, параметрикс эллиптической граничной задачи (^[5]; ^[6]).

Частным случаем псевдодифференциальных операторов являются многомерные сингулярные интегральные и интегро-дифференциальные операторы, изучение которых подготовило появление теории псевдодифференциальных операторов (^[7]).

Теория псевдодифференциальных операторов служит основой для изучения интегральных операторов Фурье (Treves. 1980; Duistermaat. 1973), играющих ту же роль в теории гиперболических уравнений, что и псевдодифференциальные операторы в теории эллиптических уравнений.