Оператор в математике

Опера́тор в матема́тике, математическое понятие, в самом общем смысле означающее соответствие между элементами двух множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, относящее каждому элементу ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$ некоторый элемент ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle Y}$. Эквивалентный смысл имеют термины операция, отображение, преобразование, функция. Элемент ${\displaystyle y}$ называется образом ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ – прообразом ${\displaystyle y}$. Термин «оператор» часто употребляется в функциональном анализе и линейной алгебре, в особенности для отображений векторных пространств. Оператор ${\displaystyle A}$ из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ может быть определён не всюду, тогда говорят о его области определения ${\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}$. Для ${\displaystyle x\in D_{A}}$ результат применения оператора ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle x}$ обозначают ${\displaystyle A(x)}$ или ${\displaystyle Ax}$.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – векторные пространства над одним и тем же полем ${\displaystyle K}$, то в множестве всех операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ можно выделить класс линейных операторов, т. е. таких операторов ${\displaystyle A}$, для которых для всех ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle A(x+y)=A(x)+A(y),\,\,A(\lambda x)=\lambda A(x)}$

для всех ${\displaystyle \lambda \in K}$; остальные операторы из ${\displaystyle X}$в ${\displaystyle Y}$ называются нелинейными. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – топологические пространства, то в множестве операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ выделяется класс непрерывных операторов, т. е. таких операторов ${\displaystyle A}$, для которых для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ и для всякой окрестности ${\displaystyle V=V(A(x))}$ её образа ${\displaystyle A(x)}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U=U(x)}$ точки ${\displaystyle x}$, что ${\displaystyle A(U)\subset V}$; здесь ${\displaystyle A(U)}$ означает множество образов всех точек из ${\displaystyle U}$. Существуют и другие классы операторов. Изучение линейных операторов в топологических векторных пространствах составляет важный раздел функционального анализа.

Примеры.

1) Оператор дифференцирования

${\displaystyle D[f(t)]=f'(t)}$

сопоставляет каждой дифференцируемой функции ${\displaystyle f(t)}$ её производную ${\displaystyle f'(t)}$. Вообще левую часть линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle \displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{n}(t)x=\phi (t)}$

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции ${\displaystyle x(t)}$ функцию ${\displaystyle \phi (t)}$. Такой оператор называется линейным дифференциальным оператором; примерами линейных дифференциальных операторов являются оператор Гамильтона и оператор Лапласа.

2) Оператор определённого интегрирования

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=I}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a<b}$, – действительные числа, сопоставляет каждой интегрируемой функции ${\displaystyle f(t)}$ число ${\displaystyle I}$.

3) Сопоставив каждой функции ${\displaystyle f(t)}$ её произведение ${\displaystyle \phi (t)f(t)}$ на фиксированную функцию ${\displaystyle \phi (t)}$, получают оператор умножения на функцию ${\displaystyle \phi (t)}$.

4) Пусть ${\displaystyle K(s,t)}$– непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате ${\displaystyle a\leq s\leq b}$, ${\displaystyle a\leq t\leq b}$. Формула

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}K(s,t)g(t)dt=f(t)}$,

сопоставляющая непрерывной функции ${\displaystyle g(t)}$ непрерывную функцию ${\displaystyle f(t)}$, определяет линейный интегральный оператор. В то же время формула

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}F(s,g(t)dt=h(s)}$,

где ${\displaystyle F}$ – некоторая ограниченная непрерывная функция, определяет, вообще говоря, нелинейный интегральный оператор.