Неограниченный оператор

Неограни́ченный опера́тор, отображение ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle M}$ топологического векторного пространства ${\displaystyle X}$ в топологическое векторное пространство ${\displaystyle Y}$ такое, что существует ограниченное множество ${\displaystyle N\subset M}$, образ которого ${\displaystyle A(N)}$ есть неограниченное множество в ${\displaystyle Y}$.

Простейшим примером неограниченного оператора является оператор дифференцирования ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$, определённый на множестве ${\displaystyle C_{1}[a,b]}$ всех непрерывно дифференцируемых функций пространства ${\displaystyle C[a,b]}$ всех функций, непрерывных на ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$, так как оператор ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ переводит ограниченное множество ${\displaystyle \left\{\sin nt\right\}}$ в неограниченное множество ${\displaystyle \left\{n\cos nt\right\}}$. Неограниченный оператор ${\displaystyle A}$ необходимо разрывен в некоторых (a если ${\displaystyle A}$ линеен, то и во всех) точках своей области определения. Поэтому важным классом неограниченных операторов являются замкнутые операторы, обладающие свойством, в некоторой степени заменяющим свойство непрерывности.

Пусть ${\displaystyle {A}}$ и ${\displaystyle B}$ – неограниченные операторы с областями определения ${\displaystyle D_{A}}$ и ${\displaystyle D_{B}}$. Если ${\displaystyle D_{A}\cap D_{B}\neq \varnothing }$, то на этом пересечении определён оператор ${\displaystyle (\alpha A+\beta B)x=\alpha Ax+\beta Bx}$, ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), и аналогично, если ${\displaystyle A^{-1}\left(D_{B}\right)\neq \varnothing }$, то определён оператор ${\displaystyle (BA)x=B(Ax)}$. В частности, таким образом определяются степени ${\displaystyle A^{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, неограниченного оператора ${\displaystyle A}$. Оператор ${\displaystyle B}$ называется расширением оператора ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B\supset A}$, если ${\displaystyle D_{A}\subset D_{B}}$ и ${\displaystyle Bx=Ax}$ для ${\displaystyle x\in D_{A}}$. Так, ${\displaystyle B\left(A_{1}+A_{2}\right)\supset BA_{1}+BA_{2}}$. Перестановочность двух операторов обычно рассматривается для того случая, когда один из операторов ограничен: неограниченный оператор ${\displaystyle A}$ перестановочен с ограниченным оператором ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle BA\subset AB}$.

Для линейных неограниченных операторов определяется понятие сопряжённого оператора. Пусть неограниченный оператор ${\displaystyle A}$, заданный на множестве ${\displaystyle D_{A}}$, плотном в топологическом векторном пространстве ${\displaystyle X}$, действует в топологическое векторное пространство ${\displaystyle {Y}}$. Если ${\displaystyle X^{*}}$ и ${\displaystyle Y^{*}}$ – пространства, сильно сопряжённые соответственно к ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, и ${\displaystyle D_{A^{*}}}$ – совокупность линейных функционалов ${\displaystyle \varphi \in Y^{*}}$, для которых существует линейный функционал ${\displaystyle f\in X^{*}}$ такой, что ${\displaystyle \langle Ax,\varphi \rangle =\langle x,f\rangle }$ при всех ${\displaystyle x\in D_{A}}$, то соответствие ${\displaystyle \varphi \leftrightarrow f}$ определяет на множестве ${\displaystyle D_{A^{*}}}$ (которое, впрочем, может состоять лишь из нулевого элемента) пространства ${\displaystyle Y^{*}}$ оператор ${\displaystyle A^{*}}$, который называется оператором, сопряжённым к ${\displaystyle A}$.