Расслоение (в математике)

Расслое́ние, непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ пространства ${\displaystyle X}$ на пространство ${\displaystyle B}$ [следует различать расслоение как процесс и расслоение как объект ${\displaystyle (X,\pi ,B)}$]. При этом ${\displaystyle X}$ называется пространством расслоения, ${\displaystyle B}$ – базой расслоения, ${\displaystyle \pi }$ – проекцией расслоения, ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ – слоем над ${\displaystyle b}$. Расслоение представляет собой объединение слоёв ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$, параметризованных базой ${\displaystyle B}$ и склеенных топологией пространства ${\displaystyle X}$. Например, расслоение-произведение ${\displaystyle \pi :B\times F\rightarrow B}$, где ${\displaystyle \pi }$ – проекция на первый сомножитель; расслоение-база ${\displaystyle \pi :B\rightarrow B}$, где ${\displaystyle \pi =id}$, ${\displaystyle X}$ отождествляется с ${\displaystyle B}$; расслоение над точкой ${\displaystyle *}$, где ${\displaystyle X}$ отождествляется с (единственным) пространством ${\displaystyle F}$.

Сечением расслоения называется непрерывное отображение ${\displaystyle s:B\rightarrow X}$ такое, что ${\displaystyle \pi s=id}$.

Ограничением расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ на подмножестве ${\displaystyle A\subset B}$ называется расслоение ${\displaystyle \pi ^{\prime }:X^{\prime }\rightarrow A}$, где ${\displaystyle X^{1}=\pi ^{-1}(A)}$ и ${\displaystyle \pi ^{\prime }=\left.\pi \right|_{x^{\prime }}}$. Обобщением операции ограничения является построение индуцированного расслоения.

Отображение ${\displaystyle F:X\rightarrow X^{\prime }}$ называется морфизмом расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ в расслоение ${\displaystyle \pi ^{\prime }:X^{\prime }\rightarrow B^{\prime }}$, если оно переводит слои в слои, т. е. если для каждой точки ${\displaystyle b\subset B}$ существует такая точка ${\displaystyle b^{\prime }\in B^{\prime }}$, что ${\displaystyle F\left(\pi ^{-1}(b)\right)\subset \pi ^{-1}\left(b^{\prime }\right)}$. Отображение ${\displaystyle F}$ определяет, согласно формуле ${\displaystyle f(b)=\pi ^{\prime }F\left(\pi ^{-1}(b)\right)}$, некоторое отображение ${\displaystyle f:B\rightarrow B^{\prime }}$; ${\displaystyle F}$ является накрытием ${\displaystyle f}$, и имеет место равенство ${\displaystyle \pi ^{\prime }\circ F=f\circ \pi }$; ограничения ${\displaystyle F_{b}:\pi ^{-1}(b)\rightarrow \left(\pi ^{\prime }\right)^{-1}\left(b^{\prime }\right)}$ суть отображения слоёв. Если ${\displaystyle B=B^{\prime }}$ и ${\displaystyle f=\mathrm {id} }$, то морфизм ${\displaystyle F}$ называется ${\displaystyle B}$-морфизмом. Расслоения и их морфизмы образуют категорию, содержащую в качестве подкатегории расслоения над ${\displaystyle B}$ и их ${\displaystyle B}$-морфизмы.

Всякое сечение расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ представляет собой ${\displaystyle B}$-морфизм ${\displaystyle s:B\rightarrow X}$ расслоения ${\displaystyle (B,\mathrm {id} ,B)}$ в расслоение ${\displaystyle (X,\pi ,B)}$. Если ${\displaystyle A\subset B}$, то каноническое вложение ${\displaystyle i:\pi ^{-1}(A)\rightarrow B}$ является морфизмом расслоения ${\displaystyle \left.\pi \right|_{A}}$ в расслоение ${\displaystyle \pi }$.

Гомеоморфное отображение ${\displaystyle F}$ называется изоморфизмом расслоения, изоморфное расслоению-произведению – называется тривиальным расслоением, а изоморфизм ${\displaystyle \theta :X\rightarrow B\times F}$ – тривиализацией ${\displaystyle \pi }$.

Если каждый слой ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ расслоения гомеоморфен пространству ${\displaystyle F}$, то расслоение ${\displaystyle \pi }$ называется расслоением со слоем ${\displaystyle F}$. Например, в любом локально тривиальном расслоении над связной базой ${\displaystyle B}$ все слои ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ гомеоморфны и в качестве ${\displaystyle F}$ можно взять любое ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(b_{0}\right)}$; таким образом, определены гомеоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{b}:F\rightarrow \pi ^{-1}(b)}$.