Преобразование Фурье

Преобразова́ние Фурье́, одно из интегральных преобразований, – линейный оператор ${\displaystyle F}$, действующий в пространстве, элементами которого являются функции ${\displaystyle f(x)}$ от ${\displaystyle n}$ действительных переменных. Минимальной областью определения ${\displaystyle F}$ считается совокупность ${\displaystyle D=C_{0}^{\infty }}$ бесконечно дифференцируемых финитных функций ${\displaystyle \varphi }$. Для таких функций

${\displaystyle (F\varphi )(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi )e^{-ix\xi }\,d\xi .}$ (1)

В некотором смысле наиболее естественной областью определения ${\displaystyle F}$ является совокупность ${\displaystyle S}$ бесконечно дифференцируемых функций ${\displaystyle \varphi (x)}$, исчезающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее любой степени ${\displaystyle \mid x\mid }$. Формула ${\displaystyle (1)}$ сохраняется для ${\displaystyle \varphi \in S}$ и при этом ${\displaystyle (F\varphi )(x)\equiv \psi (x)\in S}$. Бoлее того, ${\displaystyle F}$ осуществляет изоморфизм ${\displaystyle S}$ на себя, обратное отображение ${\displaystyle F^{-1}}$ — обращение преобразования Фурье, обратное преобразование Фурье, — задается формулой:

${\displaystyle \displaystyle \varphi (x)=(F^{-1}\psi )(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\psi (x)e^{ix\xi }\,d\xi }$.

Формула ${\displaystyle (1)}$ еще действует в пространстве ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ суммируемых функций. Дальнейшее расширение области определения оператора ${\displaystyle F}$ требует обобщения формулы ${\displaystyle (1)}$. В классическом анализе такие обобщения строятся для локально суммируемых функций с теми или иными ограничениями на их поведение при ${\displaystyle \mid x\mid \rightarrow \infty }$ (см. интеграл Фурье). В теории обобщённых функций определение оператора ${\displaystyle F}$освобождено от многих требований классического анализа.

Основные задачи, связанные с изучением преобразования Фурье ${\displaystyle F}$: исследование области определения ${\displaystyle \Phi }$ оператора ${\displaystyle F}$ и области его значений ${\displaystyle F\Phi \equiv \Psi }$, свойства отображения ${\displaystyle F:\Phi \rightarrow \Psi }$ (в частности, условия существования обратного оператора ${\displaystyle F^{-1}}$ и его выражение). Формула обращения преобразования Фурье весьма проста:

${\displaystyle F^{-1}[g(x)]=F[g(-x)]}$.

Под действием преобразования Фурье линейные операторы в исходном пространстве, инвариантные относительно сдвига, переходят в пространстве образов в операторы умножения (при некоторых условиях). В частности, свёртка функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ переходит в произведение функций ${\displaystyle Ff}$ и ${\displaystyle Fg}$:

${\displaystyle F(f*g)=Ff\cdot Fg}$,

дифференцирование порождает умножение на независимую переменную:

${\displaystyle F(D^{\alpha }f)=(ix)^{\alpha }Ff}$.

В пространствах ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant 2}$, оператор ${\displaystyle F}$ определен формулой ${\displaystyle (1)}$ на множестве ${\displaystyle D_{F}=L_{1}\cap L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ и является ограниченным оператором из ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ в ${\displaystyle L_{q}(\mathbb {R} ^{n})}$, ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$:

${\displaystyle \displaystyle \left\{(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mid (Ff)(x)\mid ^{q}\,dx\right\}^{1/q}}$
${\displaystyle \leqslant }$
${\displaystyle \left\{(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mid f(x)\mid ^{p}\,dx\right\}^{1/p}}$

(см. Неравенства Хаусдорфа – Юнга). По непрерывности ${\displaystyle F}$ допускает продолжение на все пространство ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, которое (для ${\displaystyle 1}$

<p 2<="" \leqslant="" math="">) даётся формулой

${\displaystyle \displaystyle (Ff)(x)=\lim _{R\rightarrow \infty }^{q}(2\pi )^{-n/2}\int _{\mid \xi \mid <R}f(\xi )e^{-i\xi x}\,d\xi ={\tilde {f}}(x)}$,

где сходимость понимается по норме пространства ${\displaystyle L_{q}(\mathbb {R} ^{n})}$. Если ${\displaystyle p\neq 2}$, образ пространства ${\displaystyle L_{p}}$ под действием оператора ${\displaystyle F}$ не совпадает с ${\displaystyle L_{q}}$, т. е. вложение ${\displaystyle FL_{p}\subset L_{q}}$ строгое при ${\displaystyle 1\leqslant p<2}$ (случай ${\displaystyle p=2}$ см. в статье Формула Планшереля). Обратный оператор ${\displaystyle F^{-1}}$ определен на ${\displaystyle FL_{p}}$ формулой

Задача о распространении преобразования Фурье на возможно широкий класс функциӥ постоянно возникает в анализе и его приложениях. См., например, Преобразование Фурье обобщённой функции.