Эллиптическое уравнение

Эллипти́ческое уравне́ние, уравнение эллиптического типа, в данной точке, дифференциальное уравнение с частными производными порядка ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sum a_{i_{1}\ldots i_{n}}(x){\frac {\partial ^{m}u}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}+L_{1}u=f,\quad \sum _{j=1}^{n}i_{j}=m}$,

где ${\displaystyle L_{1}}$ – дифференциальный оператор порядка ниже ${\displaystyle m}$, характеристической форме которого

${\displaystyle K\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)=\sum a_{i_{1}\ldots i_{n}}\lambda _{1}^{i_{1}}\ldots \lambda _{n}^{i_{n}},}$
${\displaystyle sum_{j=1}^{n}i_{j}=m}$

соответствует каноническое уравнение

${\displaystyle K\left(\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{n}\right)=0}$,

не имеющее действительных точек, кроме ${\displaystyle \lambda _{1}=0,\ldots ,\lambda _{n}=0}$. Для уравнения 2-го порядка характеристическая форма является квадратичной

${\displaystyle Q\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}(x)\lambda _{i}\lambda _{j}}$

и может быть при помощи неособого аффинного преобразования переменных ${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}\left(\xi _{i},\ldots ,\xi _{n}\right)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, приведена к виду

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\xi _{i}^{2}}$.

Когда все ${\displaystyle \alpha _{i}=1}$, или ${\displaystyle \alpha _{i}=-1}$, уравнение называется уравнением эллиптического типа.

Уравнение называется уравнением эллиптического типа в области своего задания, если оно эллиптично в каждой точке этой области.

Уравнение эллиптического типа называется равномерно эллиптическим уравнением, если существуют отличные от нуля действительные числа ${\displaystyle k_{0}}$ и ${\displaystyle k_{1}}$ такие, что

${\displaystyle k_{0}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}^{2}\leqslant Q\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)\leqslant k_{1}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{2}}$.