Сопряжённый оператор

Сопряжённый опера́тор, линейный оператор ${\displaystyle A^{*}}$, действующий из пространства ${\displaystyle Y^{*}}$ в пространство ${\displaystyle X^{*}}$ (сильно сопряжённые с локально выпуклыми пространствами ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle X}$ соответственно), который строится по линейному оператору ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle D_{A}}$ – область определения оператора ${\displaystyle A}$, всюду плотная в ${\displaystyle X}$. Если для всех ${\displaystyle x\in D_{A}}$ имеет место

${\displaystyle \langle Ax,g\rangle =\left\langle x,g^{*}\right\rangle ,}$ (*)

где ${\displaystyle Ax\in Y}$, ${\displaystyle g\in Y^{*}}$, ${\displaystyle g^{*}\in X^{*}}$, то на множестве ${\displaystyle D_{A^{*}}}$ элементов ${\displaystyle g}$, удовлетворяющих (*), однозначно определён оператор ${\displaystyle A^{*}g=g^{*}}$, действующий из ${\displaystyle D_{A^{*}}}$ в ${\displaystyle X^{*}}$. Если ${\displaystyle D_{A}=X}$ и ${\displaystyle A}$ – линейный непрерывный оператор, то ${\displaystyle A^{*}}$ – также линейный непрерывный оператор. Если, кроме того, ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – линейные нормированные пространства, то ${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|=\|A\|}$. Если ${\displaystyle A}$ – вполне непрерывный оператор, то таков же и ${\displaystyle A^{*}}$. Наиболее подробно изучены свойства сопряжённого оператора, когда ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – гильбертовы пространства.