Диффеоморфизм

Диффеоморфи́зм (дифференцируемый гoмеоморфизм, гладкий гомеоморфизм), взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$ (например, области в евклидовом пространстве) в дифференцируемое многообразие ${\displaystyle N}$, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если ${\displaystyle f(M)=N}$, то говорят, что ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ диффеоморфны. C точки зрения дифференциальной топологии диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до диффеоморфизмов (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизмов, исключая случай малых размерностей). Хотя сам термин «диффеоморфизм» был введён сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются диффеоморфизмами, а многие семейства преобразований – группами диффеоморфизмов. В частности, это относится к диффеоморфизмам, сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (например, контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие диффеоморфизмы в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах – контактные преобразования и канонические отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо которых в современной практике нередко употребляют термин «диффеоморфизм» c добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (например, «симплектический диффеоморфизм» вместо «канонического преобразования»).

Изучались и топологические (точнее, гомотопические) свойства группы ${\displaystyle \operatorname {Diff} M}$ всех диффеоморфизмов многообразия ${\displaystyle M}$ на себя, в которой надлежащим образом введена топология. Они могут быть неожиданно сложными (см., например, Antonelli. 1972, где имеются также обзор и библиография). Этот вопрос связан с рядом важных задач гомотопической топологии (например, с гомотопическими группами сфер). В принципе, знание свойств ${\displaystyle \operatorname {Diff} M}$ помогло бы в решении этих задач, однако в настоящее время ситуация является скорее обратной: продвижение в изучении ${\displaystyle \operatorname {Diff} M}$ связано как раз с использованием того, что уже известно об этих задачах, или, в лучшем случае, осуществляется параллельно с их решением и при помощи тех же методов. Относительно алгебраических свойств группы диффеоморфизмов класса ${\displaystyle C^{r}}$ (случай ${\displaystyle r=\infty }$ не исключается) замкнутого ${\displaystyle n}$-мерного многообразия доказано, что при ${\displaystyle r\neq n+1}$ её связная компонента единицы является простой группой, т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей (см. Thurston. 1974, Mather. 1974, 1975; при ${\displaystyle r=n+1}$ ситуация не выяснена). Для незамкнутого ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ доказана простота группы всех тех диффеоморфизмов ${\displaystyle f}$ класса ${\displaystyle C^{r}(r\neq n+1)}$, которые можно соединить с тождественным отображением ${\displaystyle 1_{M}}$ посредством непрерывного семейства диффеоморфизмов ${\displaystyle f_{t}\left(0\leqslant t\leqslant 1,f_{0}=1_{M};f_{1}=f\right)}$, не сдвигающего точек вне некоторого компакта (зависящего от этого семейства).