Мера Лебега

Ме́ра Лебе́га в ${\displaystyle R^{n}}$, счётно-аддитивная мера ${\displaystyle \lambda }$, являющаяся продолжением объёма как функции ${\displaystyle n}$-мерных интервалов на более широкий класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ множеств, измеримых по Лебегу. Класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ содержит в себе класс ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ борелевских множеств и состоит из множеств вида ${\displaystyle A\cup B}$, где ${\displaystyle B\subset B_{1}}$, ${\displaystyle A,B_{1}\in {\mathcal {B}}}$ и ${\displaystyle \lambda \left(B_{1}\right)=0}$. Не всякое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Для любого ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lambda (A)=\inf \sum _{j}\lambda \left(I_{j}\right),}$ (*)

где ${\displaystyle \inf }$ берётся по всевозможным счётным семействам интервалов ${\displaystyle \left\{I_{j}\right\}}$, таким, что ${\displaystyle A\subset \cup I_{j}}$. Формула (*) имеет смысл для каждого ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и определяет функцию множеств ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ (совпадающую на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ с ${\displaystyle \lambda }$), называемую внешней мерой Лебега. Множество ${\displaystyle A}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lambda (I)=\lambda ^{*}(A\cap I)+\lambda ^{*}(I\backslash A)}$

для любого конечного интервала ${\displaystyle I}$; при всех ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf\{\lambda (U):A\subset U,\,\,U{\text{ - открыто }}\}}$

и при всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{*}(A)=\sup\{\lambda (F):A\supset F,\,\,F{\text{ - компактно }}\}}$;

если ${\displaystyle \lambda ^{*}(A)<\infty }$, то последнее равенство достаточно для включения ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Если ${\displaystyle O}$ – ортогональный оператор в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, то ${\displaystyle \lambda (OA+a)=\lambda (A)}$ для любого ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Мера Лебега введена А.-Л. Лебегом (Lebesgue. 1902^[1]).