Векторное расслоение

Ве́кторное расслое́ние, локально тривиальное расслоение ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$, каждый слой которого ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ наделен структурой векторного пространства ${\displaystyle V}$ (обычно конечномерного) над полем ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$; его размерность ${\displaystyle \operatorname {dim} V}$ называется размерностью векторного расслоения. Сечения векторного расслоения ${\displaystyle \pi }$ образуют локально свободный модуль ${\displaystyle \Gamma (\pi )}$ над кольцом непрерывных функций на ${\displaystyle B}$ со значениями в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Морфизмом векторных расслоений называют морфизм расслоений ${\displaystyle f:\pi \rightarrow \pi ^{\prime }}$, для которого каждое отображение ${\displaystyle f\mid _{\pi ^{-1}(b)}}$ является линейным отображением. Совокупность векторных расслоений и их морфизмов образует категорию ${\displaystyle \operatorname {Bund} }$. Понятие векторного расслоения возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики – дифференциальной и алгебраической топологии, теории линейных связностей, алгебраической геометрии, теории псевдодифференциальных операторов и т. д.

Подмножество ${\displaystyle X^{\prime }\subset X}$, такое, что ${\displaystyle \left.\pi \right|_{X^{\prime }}:X^{\prime }\rightarrow B}$ есть векторное расслоение и ${\displaystyle X^{\prime }\cap \pi ^{-1}(b)}$ – векторное подпространство в ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ для каждого ${\displaystyle b\in B}$, называется подрасслоением векторного расслоения ${\displaystyle \pi }$. Пусть, например, ${\displaystyle V}$ – векторное пространство и ${\displaystyle G_{k}(V)}$ – многообразие Грассмана подпространств размерности ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle V}$; тогда подмножество произведения ${\displaystyle G_{k}(V)\times V}$, состоящее из пар ${\displaystyle (p,v)}$, таких, что ${\displaystyle v\in p}$, есть подрасслоение ${\displaystyle \gamma _{k}}$ тривиального векторного расслоения ${\displaystyle G_{k}(V)\times V}$. Пусть ${\displaystyle \pi _{2}}$ – подрасслоение векторного расслоения ${\displaystyle \pi }$; дизъюнктное объединение всех векторных пространств ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)/\pi _{2}^{-1}(b)}$, снабжённое фактортопологией, называется факторрасслоением векторного расслоения ${\displaystyle \pi }$. Пусть, например, ${\displaystyle V}$ – векторное пространство и ${\displaystyle G^{k}(V)}$ – многообразие Грассмана подпространств коразмерности ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle V}$; тогда факторпространство произведения ${\displaystyle G^{k}(V)\times V}$ по подрасслоению, состоящему из пар ${\displaystyle (p,v)}$, где ${\displaystyle v\in p}$, есть факторрасслоение ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ тривиального векторного расслоения ${\displaystyle G^{k}(V)\times V}$. Понятия подрасслоения и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения векторных расслоений над факторпространствами.

Морфизм ${\displaystyle f:\pi \rightarrow \pi ^{\prime }}$ векторных расслоений с одной и той же базой ${\displaystyle B}$ над тождественным морфизмом базы называется ${\displaystyle B}$-морфизмом векторных расслоений. ${\displaystyle B}$-морфизм векторных расслоений ${\displaystyle f:\pi \rightarrow \pi ^{\prime }}$ называется точным, если размерность ${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {ker} f\mid _{\pi ^{-1}(b)}}$ локально постоянна на ${\displaystyle B}$. Инъективные и сюръективные морфизмы являются точными и называются, соответственно, мономорфизмами и эпиморфизмами векторных расслоений. Для точного морфизма ${\displaystyle f}$ однозначно определены следующие векторные расслоения: ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ (ядро ${\displaystyle f}$) – подрасслоение в ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ (образ ${\displaystyle f}$) – подрасслоение в ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$, ${\displaystyle \operatorname {Coker} f}$ (коядро ${\displaystyle f}$) – факторрасслоение векторного расслоения ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \operatorname {Coim} f}$ (кообраз ${\displaystyle f}$ ) – факторрасслоение векторного расслоения ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$; каждое подрасслоение ${\displaystyle \pi _{1}}$ является образом некоторого мономорфизма ${\displaystyle i:\pi _{1}\rightarrow \pi }$, а факторрасслоение ${\displaystyle \pi _{2}}$ – коядром некоторого эпиморфизма ${\displaystyle j:\pi \rightarrow \pi _{2}}$. Последовательность ${\displaystyle B}$-морфизмов векторных расслоений

${\displaystyle \ldots \rightarrow \pi ^{\prime }\rightarrow \pi \rightarrow \pi ^{\prime \prime }\rightarrow \ldots }$

называется точной, если для всех ${\displaystyle b\in B}$ является точной последовательность

${\displaystyle \ldots \rightarrow \left(\pi ^{\prime }\right)^{-1}(b)\rightarrow \pi ^{-1}(b)\rightarrow \left(\pi ^{\prime \prime }\right)^{-1}(b)\rightarrow \ldots }$

В частности, последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{1}{\stackrel {i}{\rightarrow }}\pi {\stackrel {j}{\rightarrow }}\pi _{2}\rightarrow 0}$

(где ${\displaystyle 0}$ – нулевое векторное расслоение: ${\displaystyle X=B}$, ${\displaystyle \pi =\operatorname {id} }$) точна, если ${\displaystyle i}$ – мономорфизм, ${\displaystyle j}$ – эпиморфизм и ${\displaystyle \operatorname {Im} i=\mathrm {Ker} j}$. Совокупность векторных расслоений над ${\displaystyle B}$ и их точных ${\displaystyle B}$-морфизмов образует точную подкатегорию ${\displaystyle \operatorname {Bund} _{B}}$ категории ${\displaystyle \operatorname {Bund} }$.

Для любого векторного расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ и отображения ${\displaystyle u:B_{1}\rightarrow B}$ индуцированное расслоение ${\displaystyle u^{*}(\pi )}$ снабжается такой структурой векторного расслоения, что морфизм ${\displaystyle U:u^{*}(\pi )\rightarrow \pi }$ является морфизмом векторных расслоений. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение ${\displaystyle \left(u^{*}(\pi )\right)^{-1}(b)\rightarrow \pi ^{-1}(u(b))}$ является изоморфизмом векторных пространств. Например, каждое векторное расслоение размерности ${\displaystyle k}$ над паракомпактным пространством ${\displaystyle B}$ изоморфно векторным расслоениям ${\displaystyle u^{*}\left(\gamma _{k}\right)}$ и ${\displaystyle {\tilde {u}}^{*}\left(\gamma ^{k}\right)}$, индуцированным некоторыми отображениями ${\displaystyle u:B\rightarrow G_{k}(V)}$ и ${\displaystyle {\tilde {u}}:B\rightarrow G^{k}(V)}$ соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные векторные расслоения, а если ${\displaystyle \operatorname {dim} V\neq \infty }$, то верно и обратное: изоморфным векторным расслоениям соответствуют гомотопные отображения ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle {\tilde {u}}}$. Это одна из основных теорем гомотопической классификации векторных расслоений, выражающая универсальность векторных расслоений ${\displaystyle \gamma _{k}}$ и ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ по отношению к классифицирующим отображениям ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle {\tilde {u}}}$.

Любой непрерывной операции (функтору) ${\displaystyle T}$ на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории векторных расслоений над ${\displaystyle B}$; таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным векторным расслоением: тензорные расслоения, векторные расслоения морфизмов ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}\left(\pi ,\pi ^{\prime }\right)}$ и, в частности, сопряжённое векторное расслоение ${\displaystyle \pi ^{*}}$, внешние степени векторных расслоений и т. д., сечения которых наделяют векторные расслоения дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях.

Для векторных расслоений ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$ определяются прямая сумма (сумма Уитни) ${\displaystyle \pi \oplus \pi ^{\prime }}$ и тензорное произведение ${\displaystyle \pi \otimes \pi ^{\prime }}$; относительно этих операций множество ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{B}}$ классов изоморфных векторных расслоений над ${\displaystyle B}$ есть полукольцо, играющее важную роль в построении K-функтора; так, если для векторных расслоений ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$ существуют тривиальные векторные расслоения ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$, такие, что векторные расслоения ${\displaystyle \pi \oplus \theta }$ и ${\displaystyle \pi ^{\prime }\oplus \theta ^{\prime }}$ изоморфны (т. е. ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$ стабильно эквивалентны), то их образы в пополнении ${\displaystyle K(B)}$ полукольца ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{B}}$ совпадают, при этом для паракомпактного пространства ${\displaystyle B}$ кольцо ${\displaystyle K(B)}$ как множество совпадает с множеством классов стабильной эквивалентности векторных расслоений, поскольку для любого векторного расслоения ${\displaystyle \theta }$ над ${\displaystyle B}$ существует векторное расслоение ${\displaystyle \theta '}$, такое, что сумма ${\displaystyle \theta \oplus \theta '}$ изоморфна тривиальному расслоению.

Пусть ${\displaystyle P}$ – тривиальное одномерное векторное расслоение над паракомпактным пространством ${\displaystyle B}$. Для каждого векторного расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ существует сечение ${\displaystyle \beta }$ векторного расслоения

${\displaystyle \pi ^{*}\oplus \pi ^{*}=\operatorname {Hom} (\pi \oplus \pi ,P)}$,

являющееся на каждом слое ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ положительно определённой формой; иными словами, ${\displaystyle \pi }$ метризуемо. Это, в частности, позволяет установить, что любая точная последовательность векторных расслоений ${\displaystyle 0\rightarrow \xi {\stackrel {u}{\rightarrow }}\pi {\stackrel {v}{\rightarrow }}\zeta \rightarrow 0}$ расщепляется, т. е. существует такой морфизм ${\displaystyle w}$ : ${\displaystyle \xi \oplus \zeta \rightarrow \pi }$, что ${\displaystyle wi=u}$ и ${\displaystyle vw=j}$, где ${\displaystyle i}$ – вложение первого слагаемого в прямую сумму, а ${\displaystyle j}$ – проекция на второе слагаемое.

Отождествлением в каждом слое ${\displaystyle \pi ^{-1}}$ (b) векторного расслоения ${\displaystyle \pi :X\rightarrow B}$ точек, лежащих на одной прямой, проходящей через ${\displaystyle 0}$, получается расслоение ${\displaystyle \pi _{0}:\Pi (\pi )\rightarrow B}$, ассоциированное с векторным расслоением ${\displaystyle \pi }$ и называемое его проективизацией; слоем расслоения ${\displaystyle \pi _{0}}$ является проективное пространство ${\displaystyle \Pi (V)}$, ассоциированное с ${\displaystyle V}$. С помощью этого расслоения изучаются пространства Тома ${\displaystyle T(\pi )=\Pi (\pi \oplus \theta )/\Pi (\pi )}$, используемые для гомотопической интерпретации классов бордантных многообразий, характеристических классов векторных расслоений, описывающих гомологические свойства многообразий, и т. д.

Понятие векторного расслоения обобщается на случай, когда слой является бесконечномерным векторным пространством; при этом следует различать разные топологии пространства морфизмов ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\pi ,\pi ^{\prime }\right)}$, вносить соответствующие изменения в определение точности морфизмов и их последовательностей, а также в построение векторных расслоений, ассоциированных с непрерывными функторами на категории бесконечномерных векторных пространств.