Приближение функций действительного переменного

Приближе́ние фу́нкций действи́тельного переме́нного, нахождение для данной функции ${\displaystyle f}$ функции ${\displaystyle g}$ из некоторого определённого класса, в том или ином смысле близкой к ${\displaystyle f}$, дающей её приближённое представление. Существуют различные варианты задачи о приближении функций, решения которых зависят от того, какие функции приближают, какие функции используются для приближения, как строятся приближающие функции ${\displaystyle g}$, как понимается близость ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$.

Для оценки близости функции ${\displaystyle f}$ и приближающей её функции ${\displaystyle g}$ используются (в зависимости от рассматриваемой задачи) метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций ${\displaystyle C}$ и пространств ${\displaystyle L_{p}}$, ${\displaystyle p\geqslant 1}$, функций, ${\displaystyle p}$-я степень которых интегрируема, в которых расстояния между функциями ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ (заданными на отрезке${\displaystyle [a,b]}$) определяются формулами

${\displaystyle \|f-g\|_{C}=\max _{x\in [a,b]}\left|f(x)-g(x)\right|}$ (*)

и

${\displaystyle \|f-g\|_{L_{p}}=\left(\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|^{p}dx\right)^{1/p}}$.

Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций многочленами

${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\phi _{k}(x)}$,

где ${\displaystyle \phi _{0},\ldots ,\phi _{n}}$ – заданные функции, а ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ – произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{x}x^{k}}$,

или тригонометрические полиномы

${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{n}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)}$.

Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собственным функциям краевых задач и т. п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби ${\displaystyle P(x)/Q(x)}$, где ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ – алгебраические многочлены заданной степени.

С 1960-х гг. значительное развитие получило приближение сплайнами. Их характерным примером являются кубические сплайны, определяемые следующим образом. Отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ разбивается точками ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b}$, и на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{k},x_{k}+1]}$ кубический сплайн является алгебраическим многочленом 3-й степени, причём эти многочлены подбираются так, что на всём отрезке${\displaystyle [a,b]}$ непрерывны сам сплайн и его первая и вторая производные. Параметры, оставшиеся свободными, могут быть использованы для того, чтобы сплайн интерполировал в узлах ${\displaystyle x_{k}}$ приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов ${\displaystyle x_{k}}$ и удачного их расположения на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Сплайны оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия «теория аппроксимации функций» и «конструктивная теория функций»). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

Теория приближений функций берёт начало в работах П. Л. Чебышёва. Он ввёл одно из основных понятий – понятие наилучшего приближения полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ полиномами

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\phi _{k}(x)}$

в метрике (*) называется величина

${\displaystyle E_{n}(f)_{C}=\min \ \mid f-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\phi _{k}\ \mid _{C}}$,

где минимум берётся по всем числам ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$. Полином, на котором этот минимум достигается, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышёв установил, что наилучшее приближение функций ${\displaystyle x^{n+1}}$ на отрезке${\displaystyle [-1,1]}$ в метрике (*) алгебраическими многочленами степени ${\displaystyle n}$ равно ${\displaystyle 2^{-n}}$, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

${\displaystyle x^{n+1}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\phi _{k}(x)=2^{-n}\cos(n+1)\arccos x}$.

Следующая теорема Чебышёва указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$ является полиномом наилучшего приближения непрерывной функции ${\displaystyle f}$ в метрике (*) в том и только в том случае, когда существуют ${\displaystyle n+2}$ точки ${\displaystyle a\leqslant x_{1}<\ldots <x_{n+2}\leqslant b}$, в которых разность ${\displaystyle f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$ принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике (*) сколь угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ последовательности ${\displaystyle E_{n}(f)}$ наилучших приближений функций ${\displaystyle f}$ алгебраическими или тригонометрическими многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю при росте ${\displaystyle n}$ величин ${\displaystyle E_{n}(f)}$ в зависимости от дифференциальных свойств функции ${\displaystyle f}$ (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой – изучаются свойства функции ${\displaystyle f}$ по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функции. Ниже приведены две такие теоремы.

Для того чтобы функция ${\displaystyle f}$ была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами были справедливы оценки

${\displaystyle E_{n}(f)_{C}\leqslant Aq^{n}}$,

где ${\displaystyle q<1}$ и ${\displaystyle A}$ – некоторые положительные числа, не зависящие от ${\displaystyle n}$ (теорема Бернштейна).

Для того чтобы функция ${\displaystyle f}$ периода ${\displaystyle 2\pi }$ имела производную порядка ${\displaystyle r}$,${\displaystyle r=0,1,\ldots }$, удовлетворяющую условию

${\displaystyle \left|f^{(r)}(x+h)-f^{(r)}(x)\right|\leqslant M|h|^{\alpha }}$

(${\displaystyle 0<\alpha <1}$, ${\displaystyle M}$ – некоторое положительное число) или условию

${\displaystyle \left|f^{(r)}(x+h)-2f^{(r)}(x)+f^{(r)}(x-h)\right|\leqslant M|h|}$

(${\displaystyle M}$ – некоторое положительное число), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функций ${\displaystyle f}$ тригонометрическими полиномами были справедливы оценки

${\displaystyle E_{n}(f)_{C}\leqslant A/n^{r+\alpha }}$,

где ${\displaystyle A}$ – некоторое положительное число, не зависящее от ${\displaystyle n}$. В этом утверждении прямая теорема была в основном доказана американским математиком Д. Джексоном, а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссена и американского математика А. Зигмунда. Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближений алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, рассматривая приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций с помощью их приближений полиномами нашла приложение в ряде общих вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой справедливы не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

Для приближений в пространстве ${\displaystyle L_{2}}$ полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей, и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы ${\displaystyle f+u}$ не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle u}$. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции ${\displaystyle f(x)}$ можно брать частные суммы её ряда Фурье по тригонометрической системе ${\displaystyle S_{n}(f,x)}$. При этом справедлива оценка (теорема Лебега)

${\displaystyle \left\|f-S_{n}(f)\right\|_{C}\leqslant (L_{n}+1)E_{n}(f)_{C}}$,

где ${\displaystyle L_{n}}$ – числа, растущие при росте ${\displaystyle n}$ как ${\displaystyle (4/\pi ^{2})\ln n}$, – т. н. константы Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы ${\displaystyle S_{n}(f,x)}$ доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего.

Важный пример линейного оператора, используемого при приближении функций, даёт интерполяция функций, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции и приближающего её полинома, а в более общем случае – и значения некоторых их производных. Оценка, подобная теореме Лебега, справедлива и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ с узлами ${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {2k-1}{2n}}\pi }$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, т. е. в точках, где полином Чебышёва ${\displaystyle \cos n\arccos x}$ обращается в нуль.

Для большинства встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений – задачи о нахождении при фиксированном ${\displaystyle n}$ такой системы функций ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\phi _{k}(x)}$ были бы наименьшими (задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.

Теория приближений функций – одно из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики.