Периодическая функция

Периоди́ческая фу́нкция, функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого не равного нулю числа ${\displaystyle T}$, называемого периодом функции. Например, ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$ – периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ и ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$ – периодические функции с периодом ${\displaystyle \pi }$; ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ – дробная часть числа ${\displaystyle x}$ – периодическая функция с периодом ${\displaystyle 1}$.

Функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая на множестве ${\displaystyle E}$, является периодической функцией, если существует число ${\displaystyle T\neq 0}$ такое, что для любого ${\displaystyle x\in E}$ значения ${\displaystyle x+T}$ и ${\displaystyle x-T}$ также принадлежат ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle f(x\pm T)=f(x)}$. Если периодическая функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на каком-нибудь интервале и ${\displaystyle f(x)}$ не равна тождественно постоянной на этом интервале, то для неё существует наименьший положительный период ${\displaystyle T}$ и любой период этой функции имеет вид ${\displaystyle kT}$, ${\displaystyle k=\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Для построения графика периодической функции с периодом ${\displaystyle T>0}$ достаточно построить её график на отрезке ${\displaystyle [0,T]}$, тогда весь график получается сдвигом построенной части на ${\displaystyle \pm T,\pm 2T,\ldots }$ (рис.).

Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с одинаковым периодом являются периодическими функциями с тем же периодом. Производная периодической функции также периодическая функция с тем же периодом. Первообразная периодической функции является периодической функцией только тогда, когда интеграл от этой функции по отрезку с длиной, равной периоду, равен нулю; при этом первообразная периодической функции является периодической функцией с тем же периодом.

Сумма периодических функций с разными периодами является периодической функцией только тогда, когда их периоды соизмеримы. Например, ${\displaystyle \sin 2x+\cos 3x}$ – периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle \sin x+\sin \pi x}$ не является периодической функцией; это – пример почти периодической функции.

Периодическая функция комплексного переменного может иметь комплексный период. Например, ${\displaystyle e^{z}}$ – периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi i}$, ${\displaystyle e^{(1+i)z}}$ – периодическая функция с периодом ${\displaystyle \pi (1+i)}$. Непрерывная периодическая функция может иметь два комплексных периода ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$, отношение которых не равно действительному числу. Если ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$ – наименьшие по модулю периоды, то любой период имеет вид ${\displaystyle k_{1}T_{1}+k_{2}T_{2}}$, ${\displaystyle k_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$, ${\displaystyle k_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ . Такие функции называются двоякопериодическими; их примеры дают эллиптические функции.