Наилучшее приближение

Наилу́чшее приближе́ние, понятие теории приближения функций. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ – непрерывная функция, заданная на некотором отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, a ${\displaystyle g_{1}(x),g_{2}(x),\ldots ,g_{n}(x)}$ – фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения

${\displaystyle \mid f(x)-a_{1}g_{1}(x)-a_{2}g_{2}(x)-\ldots -a_{n}g_{n}(x)\mid }$ (*)

по ${\displaystyle x\in [a,b]}$ называется уклонением функции ${\displaystyle f(x)}$ от полинома

${\displaystyle P_{n}(x)=a_{1}g_{1}(x)+a_{2}g_{2}(x)+\ldots +a_{n}g_{n}(x)}$,

а минимум уклонения по всевозможным полиномам ${\displaystyle P_{n}(x)}$ (т. е. по всевозможным наборам коэффициентов ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\ldots ,\,a_{n}}$) – наилучшее приближение функции ${\displaystyle f(x)}$ посредством системы ${\displaystyle g_{1}(x),\,g_{2}(x),\ldots ,\,g_{n}(x)}$; наилучшее приближение обозначают ${\displaystyle E_{n}(f,g)}$. Таким образом, наилучшее приближение является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином ${\displaystyle P_{n}^{*}(x;\,f)}$, для которого уклонение от функции ${\displaystyle f(x)}$ равно наилучшему приближению (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции ${\displaystyle f(x)}$ (на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$).

Понятия наилучшего приближения и полинома, наименее уклоняющегося от функции ${\displaystyle f(x)}$, были впервые введены П. Л. Чебышёвым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Наилучшее приближение можно также рассматривать, когда под уклонением функции ${\displaystyle f(x)}$ от полинома ${\displaystyle P_{n}(x)}$ понимается не максимум выражения ${\displaystyle (*)}$, а, например,

${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\int _{a}^{b}[f(x)-P_{n}(x)]^{2}dx}}}$.