Метрическое пространство

Метри́ческое простра́нство, множество, наделённое некоторой метрикой, т. е. множество ${\displaystyle X}$, для любой пары элементов ${\displaystyle x,y}$ которого определено расстояние ${\displaystyle d(x,y)}$. Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ с метрикой ${\displaystyle d}$ обычно обозначается ${\displaystyle (X,d)}$. Понятие метрического пространства, наряду с понятиями топологического пространства, банахова пространства и гильбертова пространства, является одним из важнейших понятий современного функционального анализа. Первые метрические пространства рассматривались в работе М. Фреше (1906), где было введено расстояние между функциями.

Примером метрического пространства может служить евклидово ${\displaystyle n}$-мерное пространство ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ размерности ${\displaystyle n\geqslant 1}$ с обычной евклидовой метрикой. Другой пример даёт пространство ${\displaystyle B[a,b]}$ ограниченных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций с метрикой

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-g(x)|}$

(отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ можно заменить произвольным множеством ${\displaystyle \Omega }$, если верхнюю грань брать по всем ${\displaystyle x\in \Omega }$). Ещё одним примером является пространство ${\displaystyle \ell _{p}}$, ${\displaystyle p\geqslant 1}$, которое состоит из последовательностей ${\displaystyle \xi =\{\xi _{1},\xi _{2},\ldots \}}$ комплексных чисел, удовлетворяющих условию ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }|{\xi _{k}}|^{p}<\infty \end{aligned}}}$, с метрикой

${\displaystyle d(\xi ,\zeta )=\left(\sum _{k=1}^{\infty }|\xi _{k}-\zeta _{k}|^{p}\right)^{1/p}}$.

В метрическом пространстве естественным образом определяются понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей. Последовательность ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k\geqslant 1}}$ элементов из метрического пространства ${\displaystyle (X,d)}$ сходится, если существует такой элемент ${\displaystyle x\in X}$, что ${\displaystyle d(x_{k},x)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Последовательность ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k\geqslant 1}}$ называется фундаментальной, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такой номер ${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$, что ${\displaystyle d(x_{k},x_{m})<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle k,m>N}$. Важнейшим свойством метрических пространств является полнота. Метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится. Указанные выше пространства ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$, ${\displaystyle B[a,b]}$ и ${\displaystyle \ell _{p}}$ полны. Примером неполного метрического пространства служит множество рациональных чисел с метрикой ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$. Другим нетривиальным примером неполного метрического пространства служит множество непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ действительных (или комплекснозначных) функций с интегральной метрикой

${\displaystyle d(f,g)=\left(\int \limits _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{p}\right)^{1/p}}$

при некотором ${\displaystyle p\geqslant 1}$. Задача об описании пополнения такого метрического пространства приводит к конструкции интеграла Лебега.

В метрическом пространстве естественным образом можно ввести топологию, т. е. задать систему открытых множеств. Открытым шаром радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,d)}$ называется множество ${\displaystyle B(x_{0},r)=\{x\in X:d(x,x_{0}){<}{r}\}}$. Открытыми в ${\displaystyle (X,d)}$ объявляются множества, которые можно представить в виде объединения открытых шаров, а замкнутыми множествами – дополнения к открытым. Тем самым метрическое пространство можно рассматривать как топологическое пространство с топологией, порождаемой метрикой.

Важной характеристикой метрических пространств является сепарабельность. Метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ называется сепарабельным, если в нём найдётся множество ${\displaystyle F}$, состоящее из конечного или счётного множества элементов такое, что замыкание ${\displaystyle F}$ совпадает с ${\displaystyle X}$. Замыканием множества ${\displaystyle F\subset X}$ называется наименьшее (по включению) замкнутое в ${\displaystyle X}$ множество, содержащее ${\displaystyle F}$ (т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих ${\displaystyle F}$). В рассмотренных выше примерах пространства ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ и ${\displaystyle \ell _{p}}$ сепарабельны, а пространство ${\displaystyle B[a,b]}$ несепарабельно. Пространство ${\displaystyle C[a,b]}$, состоящее из всех непрерывных на ${\displaystyle [a,b]}$ функций, с метрикой, определённой так же, как в ${\displaystyle B[a,b]}$, является полным и сепарабельным. Согласно теореме Банаха – Мазура пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ является универсальным, т. е. любое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подпространству в ${\displaystyle C[a,b]}$.

Фундаментальным является понятие компактности метрических пространств. В частности, важную роль играют теоремы о непрерывных отображениях компактных пространств. Компактность метрического пространства ${\displaystyle (X,d)}$ равносильна выполнению одного из следующих условий (это не так за пределами класса метрических пространств): из любого покрытия ${\displaystyle (X,d)}$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; из любого счётного покрытия ${\displaystyle (X,d)}$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; любая последовательность элементов в ${\displaystyle (X,d)}$ содержит подпоследовательность, которая сходится. Всякое компактное метрическое пространство полно. Компактное метрическое пространство необходимо ограничено, т. е. содержится в некотором шаре, однако полное и ограниченное метрическое пространство может быть некомпактным (в качестве примеров можно взять замкнутые единичные шары в пространствах ${\displaystyle C[a,b]}$ или ${\displaystyle \ell _{p}}$).

Для получения критерия компактности метрического пространства полезным оказывается свойство полной ограниченности. Множество ${\displaystyle F}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ называется ${\displaystyle \varepsilon }$-сетью, если для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдётся такая точка ${\displaystyle f\in F}$, что ${\displaystyle d(x,f)\leqslant \varepsilon }$. Метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ называется вполне ограниченным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в нём существует конечная ${\displaystyle \varepsilon }$-сеть. Справедлива следующая теорема: метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Вполне ограниченные метрические пространства называют предкомпактными. Одной из задач функционального анализа является нахождение критериев предкомпактности конкретных метрических пространств или их подмножеств (которые являются метрическими пространствами с той же метрикой). Важную роль в теории метрических пространств играет теорема Бэра, которую можно сформулировать следующим образом: пусть ${\displaystyle (X,d)}$ – полное метрическое пространство, причём ${\displaystyle {\begin{aligned}X=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}\end{aligned}}}$, где множества ${\displaystyle X_{n}}$ замкнуты. Тогда хотя бы одно из множеств ${\displaystyle X_{n}}$ содержит открытый шар положительного радиуса.