Сплайн

Сплайн (сплайн-функция), функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. По теореме Вейерштрасса каждая непрерывная функция, заданная на отрезке, может быть сколь угодно точно аппроксимирована на нём многочленом. Точнее, пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует многочлен ${\displaystyle P(x)}$ такой, что

${\displaystyle \max _{a\leqslant x\leqslant b}\left|f(x)-P(x)\right|\leqslant \epsilon .}$ (*)

Если требуется аппроксимировать функцию достаточно точно, т. е. требуется подобрать ${\displaystyle P(x)}$ так, чтобы (${\displaystyle *}$) выполнялось для очень малого ${\displaystyle \epsilon }$, то может оказаться, что степень многочлена ${\displaystyle P(x)}$ очень велика и работать с ним неудобно. Если разбить отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ на несколько отрезков и на каждом из них подобрать свой многочлен так, чтобы он аппроксимировал ${\displaystyle f(x)}$ с нужной точностью, то получится сплайн, для которого степени многочленов значительно меньше степени ${\displaystyle P(x)}$, и работать с ним проще, чем с многочленом ${\displaystyle P}$.

Сплайны применяются для решения различных задач, связанных с аппроксимацией функций. Понятие «сплайн» обобщается на многомерный случай.