Ортогональные многочлены

Ортогона́льные многочле́ны, система многочленов ${\displaystyle \{P_{n}(x)\},\,n=0,1,2,\dots }$, являющаяся ортогональной системой функций, причём степень каждого многочлена ${\displaystyle P_{n}(x)}$ совпадает с индексом ${\displaystyle n}$.

Ортогональные многочлены называются ортонормированными и обозначаются ${\displaystyle \left\{{\hat {P}}_{n}(x)\right\}}$, если каждый многочлен имеет положительный коэффициент при старшей степени ${\displaystyle x}$ и выполняется условие нормированности

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}{\hat {P}}_{n}^{2}(x)p(x)dx=1}$.

Если коэффициент при старшей степени каждого многочлена равен 1, то система ортогональных многочленов обозначается ${\displaystyle \left\{{\tilde {P}}_{n}(x)\right\}}$. Наиболее важный класс ортогональных многочленов составляют т. н. классические ортогональные многочлены; они получаются (с точностью до постоянных множителей) при указанных ниже числах ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и функциях ${\displaystyle p(x)}$.

1) Многочлены Якоби ${\displaystyle \left\{P_{n}(x;\alpha ,\beta )\right\}}$ – для них ${\displaystyle p(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$, ${\displaystyle \alpha >-1}$, ${\displaystyle \beta >-1}$, ${\displaystyle a=-1}$, ${\displaystyle b=1}$; частные случаи многочленов Якоби:

многочлены Гегенбауэра (их иногда называют ультрасферическими многочленами) ${\displaystyle \left\{P_{n}(x;\alpha )\right\}}$ – для них ${\displaystyle \alpha =\beta }$;

многочлены Чебышёва 1-го рода ${\displaystyle \left\{T_{n}(x)\right\}}$ – для них ${\displaystyle \alpha =\beta =-1/2}$, ${\displaystyle p(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$; многочлены Чебышева 2-го рода ${\displaystyle \left\{U_{n}(x)\right\}}$ – для них ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$, ${\displaystyle p(x)\equiv 1}$;

многочлены Лежандра ${\displaystyle \left\{P_{n}(x)\right\}}$ – для них ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$, ${\displaystyle p(x)\equiv 1}$.

2) Многочлены Лагерра ${\displaystyle \left\{L_{n}(x;\alpha )\right\}}$ – для них ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b=\infty }$, ${\displaystyle p(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$, ${\displaystyle \alpha >-1}$; иногда они рассматриваются для ${\displaystyle \alpha =0}$, тогда они обозначаются ${\displaystyle \left\{L_{n}(x)\right\}}$.

3) Многочлены Эрмита ${\displaystyle \left\{H_{n}(x)\right\}}$ – для них ${\displaystyle a=-\infty }$, ${\displaystyle b=\infty }$, ${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}}}$.

Весовые функции классических ортогональных многочленов удовлетворяют дифференциальному уравнению Пирсона

${\displaystyle {\dfrac {p'(x)}{p(x)}}={\dfrac {p_{0}+p_{1}x}{q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}}}={\dfrac {A(x)}{B(x)}},\quad x\in (a,b),}$ (*)

а многочлен ${\displaystyle y=P_{n}(x)}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle B(x)y''+(A(x)+B'(x))y'-n(p_{1}+(n+1)q_{2})y=0}$.

Многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$ может быть представлен с помощью формулы Родрига

${\displaystyle P_{n}(x)={\dfrac {C_{n}}{p(x)}}{\dfrac {d^{n}}{dx^{n}}}(p(x)B^{n}(x))}$,

где ${\displaystyle C_{n}}$ – нормировочная постоянная, а ${\displaystyle B(x)}$ – из формулы ${\displaystyle (*)}$.

Ортогональные многочлены обладают многими общими свойствами. Нули ортогональных многочленов в случае ортогональности по интервалу ${\displaystyle (a,b)}$ действительны, различны и расположены внутри ${\displaystyle (a,b)}$, причём между двумя соседними нулями многочлена ${\displaystyle P_{n}(x)}$ находится один нуль многочлена ${\displaystyle P_{n-1}(x)}$. Нули ортогональных многочленов часто применяются в качестве узлов интерполяционных формул.

Исторически первыми ортогональными многочленами были многочлены Лежандра. Затем введены многочлены Чебышёва, общие многочлены Якоби, многочлены Эрмита и Лагерра.