Теоре́мы продолже́ния в аналити́ческой геоме́трии, утверждения о продолжении функций, сечений аналитических пучков, аналитических пучков, аналитических подмножеств, голоморфных и мероморфных отображений с дополнения $X\backslash A$ в аналитическом пространстве $X$ к подмножеству $A$ (как правило, тоже аналитическому) на всё пространство $X$. Классическими результатами о продолжении функций являются две теоремы Римана.

Первая теорема Римана утверждает, что всякая аналитическая функция на $X\backslash A$, где $X$ – нормальное комплексное пространство, а $A$ его аналитическое подмножество коразмерности $\geqslant2$, продолжается до аналитической функции на всём $X$. Вторая теорема Римана утверждает, что всякая аналитическая функция $f$ на $X\backslash A$, где $A$ нигде не плотное аналитическое подмножество нормального комплексного пространства $X$, локально ограниченная на $X$, продолжается до аналитической функции на всём $X$. Существуют обобщения этих теорем на произвольные комплексные пространства $X$, а также на сечения когерентных аналитических пучков (см. Локальные когомологии).

Важнейшими результатами о продолжениях аналитических подмножеств являются теорема Реммерта – Штейна – Шифмана и теорема Бишопа. Теорема Реммерта – Штейна – Шифмана утверждает, что всякое чисто $p$-мерное комплексное аналитическое подмножество в $X\backslash A$, где $X$ – комплексное аналитическое многообразие, а $A$ его замкнутое подмножество, имеющее нулевую $(2p-1)$-мерную меру Хаусдорфа, продолжается до чисто $p$-мерного комплексного аналитического подмножества во всём $X$. Теорема Бишопа утверждает, что всякое чисто $p$-мерное комплексное аналитическое подмножество $V$ в $X\backslash A$, где $X$ – комплексное аналитическое многообразие, а $A$ – его комплексное аналитическое подмножество, продолжается до чисто $p$-мерного комплексно аналитического подмножества $\overline{V}$ во всём $X$, если $V$ имеет локально конечный объём в некоторой окрестности $U$ множества $A$ в $X$.

Имеются критерии продолжаемости аналитических отображений, обобщающие классическую теорему Пикара. Например, всякое аналитическое отображение $X\backslash A\to Y$, где $X$ – комплексное многообразие, $A$ – его аналитическое нигде не плотное подмножество, a $Y$ – гиперболическое компактное комплексное многообразие, можно продолжить до аналитического отображения $X\to Y$. Всякое не всюду вырожденное аналитическое отображение $X\backslash A\to Y$, где $X$ – комплексное многообразие, $A$ – его аналитическое подмножество, $Y$ – компактное комплексное многообразие с отрицательным первым классом Чжэня, можно продолжить до мероморфного отображения $X\to Y$.