Симметри́чная а́лгебра, алгебра $E$ над полем комплексных чисел, снабжённая инволюцией $x \rightarrow x^*$, $x \in E$. Примерами симметричной алгебры являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в которой инволюция определяется как переход к комплексно-сопряжённой функции; алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, в которой инволюция определяется как переход к сопряжённому оператору; групповая алгебра локально компактной группы; алгебра мер на локально компактной группе. Элемент $x^*$ алгебры $E$ называется сопряжённым к элементу $x$; элемент $x \in E$ называется самосопряжённым, или эрмитовым, если $x^*=x$, и нормальным, если $x^* x=x x^*$; если алгебра $E$ содержит единичный элемент 1, то элемент $x \in E$, удовлетворяющий условию $x^* x=x x^*=1$, называется унитарным. Множество $E_h$ эрмитовых элементов алгебры есть действительное векторное подпространство в $E$, и любой элемент $x \in E$ однозначно представляется в виде $x=x_1+i x_2$, где $x_1, x_2 \in E_h$; элемент $x \in E$ нормален тогда и только тогда, когда элементы $x_1, x_2$ перестановочны. Всякий элемент вида $x^* x$ эрмитов; единичный элемент эрмитов. Если $x$ обратим, то $x^*$ также обратим и $\left(x^*\right)^{-1} = \left(x^{-1}\right)^*$. Спектр каждого эрмитова элемента симметричен относительно действительной оси. Симметричная алгебра $E$ называется вполне симметричной алгеброй, если спектр любого элемента вида $x^* x$, $x \in E$, содержится в множестве неотрицательных действительных чисел. Примерами вполне симметричных алгебр являются: симметричная алгебра непрерывных функций на компакте; симметричная алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве; групповые алгебры компактных и коммутативных локально компактных групп. Групповые алгебры некомпактных полупростых групп Ли не являются вполне симметричными. Коммутативная симметричная алгебра $E$ тогда и только тогда вполне симметрична, когда все максимальные идеалы в $E$ симметричны, или тогда и только тогда, когда всякий характер коммутативной алгебры $E$ эрмитов. Любая $C^*$-алгебра вполне симметрична.

Подмножество $M$ симметричной алгебры $E$ называется симметричным, если $x^* \in M$ для всех $x \in M$. Отображение $\varphi$ симметричной алгебры $E$ в симметричную алгебру $F$ называется симметричным, если $\varphi(x)^*=\varphi\left(x^*\right)$ для всех $x \in E$. Ядро симметричного гомоморфизма симметричной алгебры $E$ в симметричную алгебру $F$ есть симметричный двусторонний идеал; всякий симметричный односторонний идеал является двусторонним, и факторалгебра симметричной алгебры по симметричному идеалу естественно снабжается структурой симметричной алгебры. Радикал симметричной алгебры симметричен. Симметричная подалгебра $F$ в симметричной алгебре $E$ является симметричной алгеброй. Пусть $\tilde{E}$ – прямая сумма симметричной алгебры $E$ и поля $\mathbb{C}$, в которой линейные операции и инволюция определяются покомпонентно, а умножение определяется формулой

$$\{x, \lambda\}\{y, \mu\}=\{x y+\lambda y+\mu x, \lambda \mu\}$$для всех $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$, $x, y \in E$; тогда $\tilde{E}$ есть симметричная алгебра с единичным элементом.

Линейный функционал $f$ на симметричной алгебре называется эрмитовым, если $f\left(x^*\right) =\overline{f(x)}$ для всех $x \in E$, и положительным, если $f\left(x^*, x\right) \geqslant 0$ для всех $x \in E$. Множество $E_h^{\prime}$ эрмитовых линейных функционалов на $E$ есть действительное векторное подпространство пространства $E^{\prime}$, сопряжённого $E$, и $E^{\prime}$ есть прямая сумма подпространств $E_h^{\prime}$ и $iE_h^{\prime}$. Если $E$ содержит единицу 1, то всякий положительный функционал $f$ на $E$ эрмитов и $|f(x)|^2 \leqslant f(1) f\left(x^* x\right)$ для всех $x \in E$. Если $f$ – положительный функционал на симметричной алгебре $E$, то $f\left(y^* x\right)=f\left(x^* y\right)$ и $\left|f\left(y^* x\right)\right|^2 \leqslant f\left(y^* y\right) f\left(x^* x\right)$ для всех $x, y \in E$.

Пусть симметричная алгебра $E$ снабжена нормой, превращающей $E$ в нормированную алгебру и удовлетворяющей условию $\left\|x^*\right\|=\|x\|$ для всех $x \in E$; тогда $E$ называется нормированной симметричной алгеброй. Если $E$ полна относительно рассматриваемой нормы, то $E$ называется банаховой симметричной алгеброй. Всякая нормированная симметричная алгебра $E$ может быть вложена в некоторую банахову симметричную алгебру $\bar{E}$, содержащую $E$ как плотную симметричную подалгебру; $\bar{E}$ определена однозначно с точностью до изометрического симметричного изоморфизма: $\bar{E}$ называется пополнением $E$. Если $E$ – банахова симметричная алгебра, причём $E$ имеет аппроксимативную единицу, то всякий положительный функционал $f$ на $E$ непрерывен и допускает продолжение до положительного линейного функционала на $\widetilde{E}$. Если $E$ содержит единичный элемент 1 и $\|1\|=1$, то для любого положительного линейного функционала $f$ на $E$ выполняются соотношения $\|f\|=f(1)$ и $f\left(x^* x\right) \leqslant f(1) r\left(x^* x\right)$, где $r\left(x^* x\right)$ – спектральный радиус элемента $x^{*} r$ (см. в статье Банахова алгебра).

Эрмитов элемент вполне симметричной алгебры имеет действительный спектр, для любого максимального замкнутого левого идеала $I$ во вполне симметричной алгебре $E$ с единичным элементом существует такой положительный линейный функционал $f$ на $E$, что $I=\left\{x \in E: f\left(x^* x\right)=0\right\}$, и элемент $x \in E$ обратим слева в $E$ тогда и только тогда, когда $f\left(x^* x\right)>0$ для всех ненулевых положительных функционалов $f$ на $E$. Радикал вполне симметричной алгебры $E$ совпадает с множеством таких элементов $x \in E$, что $f\left(x^* x\right)=0$ для всех положительных линейных функционалов $f$ на $E$. Банахова симметричная алгебра $E$ с единичным элементом 1 тогда и только тогда вполне симметрична, когда $r\left(x^* x\right)=\sup f\left(x^* x\right)$, где верхняя грань берётся по множеству таких положительных линейных функционалов $f$ на $E$, что $f(1)=1$.