А́лгебра мер, алгебра $M(G)$ комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе $G$, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и свёрткой в качестве умножения (см. Абстрактный гармонический анализ). Свёртка $\lambda * \mu$ мер $\lambda, \mu \in M(G)$ полностью определяется из условия, что для любой непрерывной функции $f$ на $G$ с компактным носителем

$$\int_G f \,d(\lambda * \mu)=\int_G \int_G f(x+y)\, d \lambda(x)\, d \mu(y).$$Eсли за норму в $M(G)$ принять полную вариацию меры, то $M(G)$ становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. Алгебра мер $M(G)$ обладает единицей, которой служит $\sigma$-мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в $M(G)$, образует замкнутую подалгебру.

Каждой функции $f$, принадлежащей групповой алгебре $L^1(G)$, может быть поставлена в соответствие мера $\mu_f \in M(G)$ по правилу

$$\mu_f(E)=\int_E f\, d x$$(интеграл по мере Хаaра). При этом возникает изометрическое изоморфное вложение $L^1(G) \rightarrow M(G)$. Образ при этом вложении является замкнутым идеалом в $M(G)$.

Преобразованием Фурье – Стилтьеса меры $\mu \in M(G)$ называется функция $\hat{\mu}$ на двойственной группе $\widehat{G}$, определяемая формулой:

$$\hat{\mu}(\chi)=\int_G \bar{\chi}\, d \mu .$$При этом $\lambda * \hat{\mu}=\hat{\lambda} \cdot \hat{\mu}$ и $\|\mu\|=0$, если $\hat{\mu}=0$. В частности, $M(G)$ есть алгебра без радикала.

Если группа $G$ не дискретна, то алгебра мер $M(G)$ устроена весьма сложно: она не симметрична, и её пространство максимальных идеалов обладает рядом патологических свойств. Например, это пространство содержит бесконечномерные аналитические образования, а естественно вложенная в него группа $\widehat{G}$ не плотна даже в границе Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры, т. е. такие, что $\mu * \mu=\mu$. Каждая идемпотентная мера есть конечная целочисленная комбинация $n_1 \mu_1+\ldots + n_k \mu_k$, где $\mu_i=\chi_i \nu_i$, причём $\nu_i$ – мера Хаара компактной подгруппы, а $\chi_i$ – характер. В случае $G=\mathbb{Z}$ это приводит к тому, что последовательность $\left(c_m\right)$ из 0 и 1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье – Стилтьеса некоторой меры на окружности, когда $\left(c_m\right)$ не более чем в конечном числе членов отличается от периодической последовательности.

В общем случае теорема об идемпотентных мерах допускает естественную интерпретацию в терминах нульмерных когомологий пространства максимальных идеалов. Удовлетворительное описание известно и для других групп когомологий пространства максимальных идеалов алгебры мер, что, в частности, позволяет судить о возможности логарифмировать обратимую меру из $M(G)$ (одномерные целочисленные когомологии).