Симметри́ческая а́лгебра, обобщение алгебры многочленов. Если $M$ – унитарный модуль над коммутативно-ассоциативным кольцом $A$ с единицей, то симметрической алгеброй модуля $M$ называется алгебра $S(M)=T(M) / I$, где $T(M)$ – тензорная алгебра модуля $M$, $I$ – её идеал, порождённый элементами вида $x \otimes y-y \otimes x$ $(x, y \in M)$. Симметрическая алгебра – коммутативно-ассоциативная $A$-алгебра с единицей; она градуирована:

$$S(M)=\sum_{p \geqslant 0} S^p(M),$$где $S^p(M)=T^p(M) / I \cap T^p(M)$, причём $S^0(M)=A$, $S^1(M)=M$. Модуль $S^p(M)$ называется $p$-й симметрической степенью модуля $M$. Если $M$ – свободный модуль с конечным базисом $x_1, \ldots, x_n$, то соответствие $x_i \rightarrow X_i$ $(i=1, \ldots, n)$ продолжается до изоморфизма алгебры $S(M)$ на алгебру многочленов $A\left[X_1, \ldots X_n\right]$ (cм. Кольцо многочленов).

Для любого гомоморфизма $A$-модулей $f: M \rightarrow N$ $p$-я тензорная степень $T^p(f): T^p(M) \rightarrow T^p(N)$ индуцирует гомоморфизм $S^p(f): S^p(M) \rightarrow S^p(N)$ ($p$-я симметрическая степень гомоморфизма $f$). Получается гомоморфизм $A$-алгебр $S(f): S(M) \rightarrow S(N)$. Соответствия $f \rightarrow S^p(f)$ и $f \rightarrow S(f)$ являются соответственно ковариантными функторами из категории $A$-модулей в себя и в категорию $A$-алгебр. Для любых двух $A$-модулей $M$ и $N$ имеет место естественный изоморфизм $S(M \bigoplus N) \cong S(M) \otimes S(N)$.

Если $M$ – векторное пространство над полем характеристики 0, то симметрирование $\sigma: T(M) \rightarrow T(M)$ определяет изоморфизм симметрической алгебры $S(M)$ на алгебру $\bar{S}({M}) \subset T(M)$ симметрических контравариантных тензоров на $M$ относительно симметрического умножения:

$$u \vee v=\sigma(u \otimes v),\quad u \in \bar{S}^p(M), \quad v \in \bar{S}^q(M).$$