Симметри́рование (симметризация), одна из операций тензорной алгебры, при помощи которой по данному тензору строится симметричный (по группе индексов) тензор. Симметрирование всегда производится над несколькими верхними или нижними индексами. Тензор $S$ с координатами $\{ s _ {j _ {i} \dots j _ {q} } ^ {i _ {1} \dots i _ {p} } , \, 1 \leqslant i _ \nu , \, j _ \mu \leqslant n \}$ является результатом симметрирования тензора $T$ с координатами $\{ t_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}} , \, 1 \leqslant i_\nu , \, j_\mu \leqslant n \}$ по $m$ верхним индексам, например по группе индексов $I = (i_{1}, i_{2}, \dots , i_{m})$, если$$\tag{$*$} s _ {j _ {1} \dots j _ {q} } ^ {i _ {1} \dots i _ {p} } = \ { \frac{1}{m!} } \sum _ {I \rightarrow \alpha } t _ {j _ {1} \dots j _ {q} } ^ {\alpha _ {1} \dots \alpha _ {m} i _ {m + 1 } \dots i _ {p} } .$$Здесь суммирование производится по всем $m!$ перестановкам $\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots , \alpha _ {m})$ группы индексов $I$. Симметрирование по группе нижних индексов определяется аналогично. Симметрирование по группе индексов обозначается взятием этих индексов в круглые скобки $(\text{ })$. Посторонние индексы (не участвующие в симметрировании) отделяются вертикальными чёрточками. Например,$$t ^ {(4 | 5 | 17) } = \ { \frac{1}{3!} } \bigg [ t ^ {4517} + t ^ {1574} + t ^ {7541} + t ^ {4571} + t ^ {7514} + t ^ {1547} \bigg].$$Последовательное симметрирование по группам индексов $I_1$ и $I_2$, $I_1 \subset I_2$, совпадает с симметрированием по группе индексов $I_2$. Другими словами, если $s _ {j _ {1} \dots j _ {q} } = t _ {(j _ {1} \dots (j _ {k} \dots j _ {l}) \dots j _ {q}) }$, то $s _ {j _ {1} \dots j _ {q} } = t _ {(j _ {1} \dots j _ {q}) }$ (внутренние скобки снимаются).

Тензор, не изменяющийся при симметрировании по некоторой группе индексов, называется симметрическим тензором.

Симметрирование по некоторой группе индексов тензора, альтернированного по этой группе, даёт нулевой тензор.

Умножение двух и более тензоров с последующим симметрированием их произведения по всем индексам называется симметрическим умножением. Симметрирование тензоров, наряду с операцией альтернирования, применяется для разложения тензора на тензоры более простого строения. Симметрирование применяется также для образования сумм вида $(*)$ с многоиндексными слагаемыми. Например, если элементы матрицы$$\left \| \begin{array}{ccc} a_{1}^{1} & a_{2}^{1} &\ldots &a_{n}^{1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n} & a_{2}^{n} &\ldots &a_{n}^{n} \\ \end{array} \ \right \|$$коммутируют при умножении, то выражение$$n! \, a_{\vphantom{(}\hphantom{(} 1}^{(1} a_{\vphantom{(}2}^{\vphantom{(}2} \dots a_{\vphantom{(}n}^{n)} = n!\, \left(a_{(1}^{\vphantom{(} \hphantom{(}1} a_{\vphantom{(}2}^{\vphantom{(1 \hphantom{(}}2} \dots a_{n)}^{\vphantom{(}n} \right) = n! \ a _ {(1} ^ {(1} a_{\vphantom{(}2}^{\vphantom{(}2} \dots a_ {n)}^{n)}$$называется перманентом матрицы.