Сепара́бельное расшире́ние по́ля, расширение $K / k$ такое, что для некоторого натурального $n$ поля $K$ и $k^{p-n}$ линейно разделены над $k$ (см. статью Линейно разделённые расширения). Расширение, не являющееся сепарабельным, называется несепарабельным.

В дальнейшем рассматриваются только алгебраические расширения (о трансцендентных сепарабельных расширениях см. статью Трансцендентное расширение). Конечное расширение сепарабельно тогда и только тогда, когда отображение следа $\mathrm{Sp}: K \rightarrow k$ является ненулевой функцией. Алгебраическое расширение сепарабельно, если любое конечное его подрасширение сепарабельно. В характеристике $0$ все расширения сепарабельны.

Сепарабельные расширения образуют отмеченный класс расширений, т. е. в башне полей $L \supset K \supset k$ расширение $L / k$ сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельны и $L / K$ и $K / k$. Если $K_1 / k$ и $K_2 / k$ суть сепарабельного расширения, то и $K_1 K_2 / k$ сепарабельно; для сепарабельного расширения $K / k$ и произвольного расширения $L / k$ расширение $K L / L$ снова сепарабельно. Расширение $K / k$ сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает погружение в некоторое расширение Галуа $L / k$. При этом для конечного расширения $K / k$ число различных $k$-изоморфизмов поля $K$ в $L$ совпадает со степенью $[K: k]$. Любое конечное сепарабельное расширение является простым.

Многочлен $f(x) \in k[X]$ называется сепарабельным над $k$, если его неприводимые множители не имеют кратных корней. Алгебраический элемент $\alpha$ называется сепарабельным (над $k$), если он является корнем сепарабельного над $k$ многочлена. В противном случае $\alpha$ называется несепарабельным. Элемент $\alpha$ называется чисто несепарабельным над $k$, если $\alpha^{p^n}\in k$ для некоторого $n$. Неприводимый многочлен $f(x)$ несепарабелен тогда и только тогда, когда производная $f^{\prime}(x)$ тождественно равна $0$ [это возможно только в случае, когда $k$ имеет характеристику $p$ и $f(x)=f_1\left(x^p\right)$]. Произвольный многочлен $f(x)$ однозначно представим в виде $f(x)=g\left(x^{p^e}\right)$, где $g(x)$ – сепарабельный многочлен. Степень многочлена $g(x)$ и число $e$ называются соответственно редуцированной степенью и индексом многочлена $f(x)$.

Пусть $L / k$ – произвольное алгебраическое расширение. Все элементы поля $L$, сепарабельные над $k$, образуют поле $K$, которое является максимальным сепарабельным расширением поля $k$, содержащимся в $L$. Поле $K$ называется сепарабельным замыканием поля $k$ в $L$. Степень $[K: k]$ называется сепарабельной степенью расширения $L / k$, а степень $[L: K]$ – несепарабельной степенью, или степенью несепарабельности. Несепарабельная степень равна некоторой степени числа $p=\operatorname{char} k$. Если $K=k$, то поле $k$ называется сепарабельно замкнутым в $L$. В этом случае расширение $L / k$ называется чисто несепарабельным. Расширение $K / k$ чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда$$K \subset k^{p^{-\infty}}=\cup_n k^{p^{-n}},$$т. е. когда любой элемент поля $K$ чисто несепарабелен над $k$. Чисто несепарабельные расширения поля $k$ образуют отмеченный класс расширений. Если расширение $K / k$ одновременно сепарабельно и чисто несепарабельно, то $K=k$.