Распределе́ние Миннесо́ты (Прайор Литтермана, англ. Minnesota prior, Litterman prior), априорное распределение для байесовской модели векторной авторегрессии (BVAR). Является одним из наиболее часто используемых априорных распределений для BVAR-моделей в байесовской эконометрике. Распределение предложено в работах Т. Доана, Р. Литтермана, К. Симса (Doan. 1984) и Р. Литтермана (Litterman. 1986).

Суть использования данного распределения заключается в следующем. Рассматривается модель BVARX($p$):

$y_t= \sum_{i=1}^pA_iy_{t-i}+ \Gamma z_t+ \varepsilon _t,$

где $\rho$ – число лагов, $y_t$ – вектор эндогенных переменных в период времени $t$, содержащий $n$ эндогенных переменных, $A_i$ – матрица коэффициентов при $i$-ом лаге эндогенных переменных, $z_t$ – вектор, включающий $m$ экзогенных переменных с учётом константы, $\Gamma$ – матрица коэффициентов экзогенных переменных, $\varepsilon _t$ – вектор ошибок в период времени $t$, имеющий многомерное нормальное распределение $MN(0, \Sigma )$.

В более компактной форме эта модель записывается с помощью следующего уравнения:

$Y=XA+ \varepsilon ,$

где $Y=(y_1, y_2, ..., y_T)', \ A=(A_1, A_2,...,A_p, \Gamma )', \ \varepsilon =( \varepsilon _1, \varepsilon _2, ..., \varepsilon _T)'$.

Матрица объясняющих переменных задаётся как:

$X=(x_1, x_2,...,x_T)'$,

где $x_t=({y_{t-1}}',{y_{t-2}}',...,{y_{t-p}}' ,{z_t}')$.

Предполагается, что рассматриваемые макроэкономические ряды являются независимыми, в том числе и от экзогенных переменных, и представляют собой некоторый AR(1)-процесс [в оригинальной работе Р. Литтермана («Forecasting with Bayesian vector autoregressions – five years of experience», 1986) предполагалось, что ряды представляют собой процесс случайного блуждания] с коэффициентом $a_1$ [в расширениях распределения Миннесоты AR(1)-коэффициенты также могут быть индивидуальными для рядов]. Это означает, что матрица коэффициентов $A_1$ – диагональная (диагональ заполнена используемым значением $a_1$), в то время как матрицы $A_2,...,A_p, \ \Gamma$ – нулевые. Структура априорной ковариационной матрицы коэффициентов $\Omega$ в модели формируется с помощью гиперпараметров и МНК-оценок остаточных дисперсий авторегрессий эндогенных переменных.

Тогда реализация распределения Миннесоты с выбранным гиперпараметром перед первым лагом $a_1$ в матричной записи имеет вид:

$A_1= \left(\begin{array}{c}a_1 \ \ldots \ 0 \\ \begin{array}{c} \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \\ 0 \ \ldots \ \ a_1\end{array} \end{array}\right), \\ A_i= \left(\begin{array}{c}0 \ \ldots \ 0 \\ \begin{array}{c} \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \\ 0 \ \ldots \ \ 0\end{array} \end{array}\right) , \ i= \overline{2,p} , \\ \Gamma = \left(\begin{array}{c}0 \ \ldots \ 0 \\ \begin{array}{c} \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \\ 0 \ \ldots \ \ 0\end{array} \end{array}\right), \\ A=(A_1,A_2,...,A_p, \Gamma )', \\ \widetilde{a} =vec(A).$

Матрица $\Omega$ является диагональной, а её элементы формируются с помощью гиперпараметров отдельно для трёх случаев:

• Дисперсия собственных лагов эндогенной переменной:

  $\sigma ^2_{a_{ii,s}}=( \frac{ \lambda _1}{s^{ \lambda _3}} )^2$,

  где $\lambda _1$ – гиперпараметр всеобщего стягивания, который корректирует величину дисперсии, $\lambda _3$ – гиперпараметр, который регулирует скорость снижения дисперсии по отношению к коэффициентам более поздних лагов переменной, $s$ – номер лага.

• Лаги других эндогенных переменных:

  $\sigma ^2_{a_{ij,s}}=( \frac{ \sigma_i^2 }{ \sigma_j^2 } ) ( \frac{ \lambda _1 \lambda_2 }{s^{ \lambda _3}} )^2$,

  где $\lambda _2$ – гиперпараметр кросс-переменной дисперсии, который регулирует дисперсию у параметров вне главной диагонали матриц $A_i, \ \sigma _i^2$ и $\sigma _j^2$ – МНК-оценки остаточных дисперсий авторегрессий переменных $i$ и $j$ соответственно.

• Дисперсия при экзогенных переменных (включая константу):

  $\sigma _{b_i}^2= \sigma _i^2( \lambda _1 \lambda _4)^2$,

  где $\lambda _4$ – гиперпараметр, регулирующий вариацию коэффициентов при экзогенных переменных.

Выбор значения коэффициента $a_1$ и гиперпараметров можно произвести с помощью алгоритма поиска по сетке, который заключается в следующем. Задаются границы интервала, в котором, по предположению, располагается оптимальное значение гиперпараметра, а также величина шага, с которым перебираются значения данного гиперпараметра. Для каждой комбинации рассчитывается функция правдоподобия. Оптимальный набор значений гиперпараметров выбирается посредством сравнения полученных значений функций (Giannone. 2015). В качестве альтернативы можно использовать наиболее апробированные, общепринятые значения из эмпирической литературы. Например, в работе Ф. Кановы («Methods for applied macroeconomic research», 2011) предлагается следующий набор значений: $\lambda _1=0.2, \ \lambda _2=0.5, \ \lambda _3=2$. Значение $\lambda _4$ обычно варьируется от 100 до 10 тыс.

Тогда априорное распределение коэффициентов записывается следующим образом:

$\pi (a) \sim N( \widetilde{a}, \Omega ).$

Преимущество распределения Миннесоты состоит в том, что апостериорное распределение параметров можно получить аналитически в виде теоретического многомерного нормального распределения. При этом ковариационная матрица остатков предполагается известной. Сформировать её можно тремя путями. Оценить AR(1)-процесс, получив дисперсии эндогенных переменных. Оценить стандартную VAR-модель с помощью обычного МНК можно при использовании только диагональных элементов ковариационной матрицы остатков или при её полном использовании. В первых двух случаях ковариационная матрица будет диагональной. Выбор способа зависит от априорных ожиданий относительно сохранения структуры и взаимосвязи остатков.

В соответствии с байесовской формулировкой:

$\pi (a, \Sigma|y ) \propto f(y|a, \Sigma ) \pi (a, \Sigma ),$

где $\pi (a, \Sigma )$ – априорное распределение коэффициентов и ковариационной матрицы, $f(y|a, \Sigma )$– функция правдоподобия, $\pi (a, \Sigma |y)$ – апостериорное распределение коэффициентов и ковариационной матрицы. Тогда апостериорное распределение коэффициентов представляется в виде:

$\pi (a|y) \sim N( \overline{a} , \overline{ \Omega } ),$

где

$\overline{a} = \overline{ \Omega } [ \Omega ^{-1} \widetilde{a}+( \Sigma^{-1} \otimes X' )y ], \\ y=vec(Y), \\ \overline{ \Omega } =[ \Omega^{-1}+ \Sigma ^{-1}X'X]^{-1}.$

Предпосылка об известной ковариационной матрице остатков может восприниматься как изъян прайора Миннесоты, поскольку в действительности её фактическое значение не наблюдается. Для нивелирования данного недостатка могут быть использованы альтернативные априорные распределения с семплированием ковариационной матрицы остатков. Например, нормальное обратное распределение Уишарта (англ. normal-inverse-Wishart prior) или независимое нормальное обратное распределение Уишарта (англ. independent normal-inverse-Wishart prior).