Распределе́ние Уи́шарта (англ. Wishart distribution), совместное распределение элементов выборочной ковариационной матрицы для многомерного нормального распределения. Используется в эконометрике для получения распределения оценки ковариационной матрицы. Является сопряжённым распределением для обратного распределения Уишарта, которое используется в качестве прайора в байесовской эконометрике (например, в BVAR-моделях).

Распределение Уишарта предложено в работе Дж. Уишарта (Wishart. 1928).

Рассмотрим ковариационную матрицу $\Sigma$ размерностью $\rho \times \rho$:

$\Sigma = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \sigma_1^2 \ \ \sigma_{1,2} \ \ \cdots \ \ \sigma_{1,p} \\ \sigma_{2,1} \ \ \sigma_2^2 \ \ \cdots \ \ \sigma_{2,p}\end{array} \\ \vdots \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ \sigma_{p,1} \ \ \sigma_{p,2} \ \ \cdots \ \ \sigma_p^2 \end{array}\right) .$

Матрицы из распределения Уишарта, описывающего оценку ковариационной матрицы $\Sigma$, должны удовлетворять следующим условиям:

• матрицы положительно определены (диагональные элементы, которые играют роль дисперсий, больше нуля $\sigma _j^2>0$; все корреляции находятся в границах от –1 до 1);

• матрицы симметричны (для обеспечения $\sigma _{i,j}= \sigma _{j,i}$).

Положим

$Z^TZ= \sum_{i=1}^{v_0}z_iz_i^T, \\ z_iz_i^T=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} z_{i,1}^2 \ \ z_{i,1}z_{i,2} \ \ \cdots \ \ z_{i,1}z_{i,p} \\ z_{i,2}z_{i,1} \ \ \ z_{i,2}^2 \ \ \cdots \ \ z_{i,2}z_{i,p}\end{array} \\ \vdots \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ z_{i,p}z_{i,1} \ \ \ z_{i,p}z_{i,2} \ \ \cdots \ \ z_{i,p}^2 \end{array}\right) ,$

где для всех $i=1,..., v_0 \ z_i$ матрицы размерностью $\rho \times 1$ независимо одинаково распределены с многомерным нормальным распределением $MN(0, \Phi _0 )$, $\Phi _0$ – положительно определённая симметричная матрица размерностью $\rho \times \rho$, $v_0$ – параметр. Матрица $Z^TZ$ является положительно определённой и симметричной, при линейной независимости $z_i$ для всех $i=1,...,v_0$ и $v_0 \geq p$.

Соответственно, при данной постановке набор матриц $Z_1^TZ_1,...,Z_N^TZ_N$ является распределением Уишарта $W(v_0, \Phi _0)$ с параметрами $v_0$ и $\Phi _0$, которое обладает следующими свойствами:

• $E[ \Sigma ]=v_0 \Phi _0,$

• $E[ \Sigma _{i,j}]=v_0 \Phi _{0_{i,j}}$ для всех $i,j=1,...,p$,

• $var[ \Sigma_{i,j}]=v_0( \Phi _{0_{i,j}}^2+ \Phi _{0_{i,i}} \Phi _{0_{j,j}})$ для всех $i,j=1,...,p$,

• $cov[ \Sigma_{i,j}, \Sigma_{k,m} ] = v_0( \Phi_{0_{i,k}}\Phi_{0_{j,m}} + \Phi_{0_{i,m}}\Phi_{0_{j,k}} )$.

Функция плотности распределения Уишарта имеет вид:

$p( \Sigma ) = \left[\begin{array}{c}2^{v_0 \rho /2 } \pi ^{ \rho( \rho -1)/4}| \Phi _0|^{v_0/2} \prod _{j=1}^ \rho \Gamma ([v_0+1-j]/2)\\ \end{array}\right] ^{-1} \times | \sum |^{(v_0- \rho -1)/2} \times \times exp \{ -tr( \Phi_0^{-1} \Sigma )/2 \} ,$

где $\Gamma (x)$ – гамма-функция.

В качестве параметра $Φ _0$ используется оценка ковариационной матрицы, делённая на первый параметр распределения $\frac{1}{v_0} \widehat{ \Sigma }$. Параметр $v_0$ корректирует степень центрирования распределения вокруг $\widehat{ \Sigma }$. Если $v_0$ достаточно большой, то распределение сосредоточено вокруг $\widehat{ \Sigma }$. Если $v_0$ мал, то распределение более широкое, слабо центрируемое относительно $\widehat{ \Sigma }$.

При $\rho = Φ _0=1$ распределение трансформируется в распределение хи-квадрат с $v_0$ степенями свободы. При $\rho =1$ распределение Уишарта сводится к гамма-распределению.