При́нцип симме́трии Ри́мана – Шва́рца (принцип симметрии Шварца) для аналитических функций. Пусть область $G$ расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb C}$ ограничена замкнутой жордановой кривой $\Gamma$, в состав которой входит дуга $l$ окружности $L$ расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb C}$. Пусть, далее, функция $f(z)$ определена и непрерывна на $G\cup l$, аналитична в $G$, а на $l$ принимает значения, принадлежащие некоторой окружности $C$ расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb C}$. Тогда $f(z)$ продолжается через дугу $l$ в область $G^{*}$, симметричную с $G$ относительно $L$, до функции, аналитической в области $G\cup l\cup G^{*}$. Такое продолжение (через $l$) единственно и определяется следующим свойством продолженной функции $f(z)$: если точки $z\in G$ и $z^{*}\in G^{*}$ симметричны (инверсны) относительно $L$, то точки $w=f(z)$ и $w^{*}=f(z^{*})$ симметричны относительно $C$. В частности, если $L$ и $C$ совпадают с действительной осью плоскости $\overline{\mathbb C}$, то $f(z)=\overline{{f(\overline{z})}}$ при $z\in G\cup l\cup G^{*}$. Под окружностями расширенной комплексной плоскости понимаются как собственно окружности, так и прямые. Непрерывность также может пониматься как в обычном, так и в обобщённом смысле, т. е. когда $f(z)$ называется непрерывной в точке $z_{0}$, если $f(z)\rightarrow f(z_{0})$ при $z\rightarrow z_{0}$, независимо от конечности или бесконечности величины $z_{0}$. Кривая $\Gamma$, равно как и $l$, может проходить через точку $\infty$. По условию $f(l)\subset C$ , но не обязательно $f(l)=C$. Кроме того, если $G$ и $G^{*}$ имеют общие внутренние точки, то продолженная функция в этих точках может быть неоднозначной.

Принцип симметрии для гармонических функций при тех же $G$, $L$, $l$ и $G^*$ формулируется так: если функция $u(x,y)$ гармонична в $G$, непрерывна на $G\cup l$ и равна нулю на $l$, то $u$ продолжается через $l$ в $G^{*}$ до функции, гармонической в $G\cup l\cup G^{*}$ . При этом если точки $(x,y)\in G$ и $(x^{*},y^{*})\in G^{*}$ симметричны относительно $L$, то и $u(x^{*},y^{*})=-u(x,y)$.

Обобщением принципа симметрии на случай аналитических дуг $l$ (и $C$) является принцип Шварца аналитического продолжения аналитических и гармонических функций (см. Schwarz. 1890; Привалов. 1977). Обобщение принципа симметрии для гармонических функций на случай функций любого числа переменных называется принципом отражения. Принцип симметрии широко используется в приложениях теории аналитических и гармонических функций (при конформных отображениях областей с одной или несколькими осями симметрии; в теории упругости, гидромеханике, электростатике и т. д.).